MARCO TEÓRICO

Dado que el objetivo de esta investigación es estudiar las concepciones de desviación estándar de los estudiantes, en este capítulo se presentan los fundamentos teóricos que sustentaran el estudio. Para iniciar esta presentación se realiza una breve descripción del concepto de didáctica a partir del cual se determina el objeto de estudio y la finalidad de la didáctica de la estadística como campo en el cual se desarrolla este trabajo, se sigue con una descripción de dos perspectivas de investigación que han desarrollado trabajos relacionados con la estadística: la psicológica y la didáctica, dentro de la cual se tomará como referencia la didáctica fundamental de la escuela francesa. A continuación se realiza la caracterización de las concepciones, con base en las que se desarrolla el análisis conceptual de la desviación estándar y de los resultados de los instrumentos de investigación.
La didáctica de la estadística dentro de la didáctica
Hay diversas definiciones de didáctica explicitadas en la literatura disponible. Para Freudenthal (1991), la didáctica de una materia es: “la organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje relevantes para esa materia” (p. 148). Para Brousseau (1989), la didáctica es la ciencia que se interesa por la producción y comunicación del conocimiento, saber qué es lo que se está produciendo en una situación de enseñanza es el objetivo de la didáctica (p. 3). Escudero (1980, c.p. en Mallart, J., 2000), define la didáctica como "Ciencia que tiene por objeto la organización y orientación de situaciones de enseñanza-aprendizaje de carácter instructivo, tendientes a la formación del individuo en estrecha dependencia de su educación integral`` (p.5).
Teniendo en cuenta las diferentes definiciones propuestas por los investigadores mencionados, se puede concluir que la didáctica es una disciplina científica que se interesa por estudiar los procesos de enseñanza y
aprendizaje en el aula, con el propósito de proporcionar herramientas teóricas que permitan optimizar dichos procesos. En particular, la didáctica de la estadística investiga los procesos de enseñanza y aprendizaje de los conceptos estadísticos.
Para desarrollar el estudio didáctico de los conceptos estadísticos es necesario conocer los fundamentos que delinean el conocimiento estadístico. Existen varias definiciones de estadística, la propuesta por Moore (1995) es:
La estadística es la ciencia de los datos. Con más precisión, el objeto de la estadística es el razonamiento a partir de los datos empíricos. La estadística es una disciplina científica autónoma, que tiene sus métodos específicos de razonamiento. Aunque es una ciencia matemática, no es un subcampo de la Matemática. Aunque es una disciplina metodológica, no es una colección de métodos (p.15)
A partir de la definición anterior, se puede decir que la estadística forma parte de las matemáticas pero es autónoma, ya que difiere en sus métodos de razonamiento. En matemáticas los estudiantes pueden manipular objetos físicos y realizar en forma concreta operaciones básicas, al igual que a partir del resultado pueden reconstruir una operación propuesta; esto quiere decir que, en matemáticas las operaciones son reversibles: por ejemplo, en la suma los estudiantes hacen agrupaciones de objetos y al regresarse hacen la distribución de los mismos. En cambio, en estadística los algoritmos utilizados para calcular las medidas de dispersión de datos de fenómenos estadísticos no permiten realizar experiencias con material concreto, ni revertir la operación para obtener datos específicos (Batanero, 2001 p. 56), por ejemplo: de los datos recolectados de las estaturas de los estudiantes de un curso, se puede calcular la desviación estándar, su resultado me indica la variación de las estaturas en el grupo, pero a partir del valor de la desviación estándar no es posible reconstruir los datos de inicio.
Sin embargo, las matemáticas y la estadística aunque tienen una estructura axiomática a partir de la cual se definen los conceptos, se diferencian en la interpretación y aplicación de ellos. Según Batanero (2001), “Los problemas filosóficos que la axiomatización no ha resuelto se refieren a las posibilidades de aplicación de los conceptos estadísticos y la interpretación de los mismos en diferentes circunstancias” (p. 9), en estadística a diferencia de la matemática se pueden generar varias interpretaciones de un concepto las cuales dependen del contexto, es decir, la naturaleza de la estadística es no determinista.
Ahora bien, la perspectiva psicológica y la perspectiva de la didáctica de las matemáticas realizan estudios sobre la didáctica de la estadística, estas utilizan sus teorías y métodos con dicho propósito. La línea psicológica se ha interesado en lo estocástico, a raíz de la influencia que han tenido los trabajos realizados en estadística en las investigaciones referentes al razonamiento humano. Entre los trabajos que han modificado los paradigmas de los estudios psicológicos están los realizados por Kahneman y cols (1982), sobre razonamiento correlacional, inferencia, probabilidad condicional, entre otros. En este mismo sentido, la didáctica de las matemáticas tiene interés en la didáctica de la estadística, Batanero (2001), como consecuencia del “rápido desarrollo de la estadística como ciencia y como útil en la investigación, la técnica y la vida profesional” (p. 6), adicional a esto, los docentes de matemáticas son los que desarrollan las clases de estadística. A continuación se delinean las características de las perspectivas psicológica y didáctica.
Perspectiva psicológica
En la perspectiva psicológica, se busca identificar teorías de aprendizaje para sustentar la enseñanza en la didáctica de las matemáticas, lo fundamental es analizar el razonamiento humano en diversas situaciones de incertidumbre propias de la estadística y de otras áreas, en las que se requiere hacer predicciones para tomar decisiones acertadas bajo las condiciones de la situación. La mayoría de investigadores en esta línea son constructivistas, consideran que las concepciones y competencias son construidas en forma activa por los estudiantes, los conceptos no existen en un mundo ideal sino que se organizan en la mente de los estudiantes a partir de sus experiencias con el entorno.
Según Vergnaud (1988, c.p. en Godino, 2003) bajo este enfoque es apropiado estudiar en la educación matemática “el análisis de la conducta de los estudiantes, de sus representaciones y de los fenómenos inconscientes que tiene lugar en sus mentes” (p.12), Desde esta línea de investigación se analizan la organización jerárquica de las concepciones de los estudiantes y su evolución durante los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Al interior de la perspectiva psicológica se han realizado trabajos de investigación en estadística sobre el razonamiento estocástico, en particular se destacan los trabajos de Fischbein, en los que su interés es estudiar las concepciones sobre los conceptos estocásticos, el efecto de la enseñanza en ellos y la formación de los conceptos formales.
Las concepciones para Fischbein (1987, c.p. en Meletiou, 2000) “juegan un papel esencial en la adquisición del nuevo conocimiento, ellas son la llave a la comprensión y aceptación de una teoría” (p.36). Él cree que al conocer las concepciones del estudiante es posible determinar su estado cognitivo respecto de un concepto, con la finalidad de organizar los procesos de enseñanza y aprendizaje en ambientes propicios que permitan desarrollar las concepciones, de tal forma que orienten el pensamiento y sus acciones.
La construcción de un concepto formal, no es fácil ni inmediata, es un proceso continuo denominado por D´Amore como conceptualización. Para Vergnaud (1990):
La conceptualización es el núcleo del desarrollo cognitivo, es la apropiación consciente del concepto que define como la terna (S, I, R), donde:
 S: Conjunto de situaciones que dan sentido al concepto.
 I: Conjunto de invariantes sobre los cuales reposa la operacionalidad del concepto.
 R: Conjunto de las formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar simbólicamente el concepto, sus propiedades, las situaciones y los procedimientos de tratamiento (p.7)
Las situaciones son una combinación de tareas, para su solución los estudiantes requieren el uso de conceptos, procedimientos y representaciones de diferentes tipos relacionadas entre sí. Las situaciones pueden ser de dos clases: en las primeras los estudiantes utilizan estrategias conocidas, por tanto resuelven la situación de forma casi inmediata, en las situaciones de la segunda clase los estudiantes no disponen de todas las competencias necesarias para solucionar la situación, luego requiere del análisis, exploración y reflexión de posibles estrategias que lo conduzcan a una respuesta coherente.
Los invariantes son conceptos, propiedades y relaciones que pueden ser reconocidos y usados por los estudiantes para analizar y solucionar las situaciones. El conjunto de las formas lingüísticas y no lingüísticas, son las representaciones simbólicas como el lenguaje natural, gráficos y diagramas, las expresiones algorítmicas, entre otras.
La conceptualización se da en el proceso de aprendizaje si los estudiantes utilizan los tres elementos del concepto en forma simultánea, sin reducir el concepto a sus invariantes, ni a sus representaciones, ni a las situaciones. Pero es a partir de la solución de las primeras situaciones sobre un concepto que los estudiantes construyen sus concepciones iniciales las cuales se modifican progresivamente con la inclusión de nuevas situaciones y con el tiempo van evolucionando a la construcción formal del concepto.
Perspectiva didáctica
En los últimos años la Didáctica de las Matemáticas se ha interesado por la enseñanza de la estadística dado su creciente desarrollo como disciplina científica, y por su importancia a nivel social e investigativo ya que proporciona herramientas necesarias para tomar decisiones en diferentes campos profesionales. A raíz de esto los estadísticos vieron la necesidad de implementar el estudio de la estadística a nivel escolar y se inició la investigación en el campo educativo para encontrar estrategias de enseñanza aprendizaje que promuevan la comprensión de los conceptos básicos de estadística y el desarrollo del pensamiento estadístico.
Dentro de esta línea de investigación se destaca el grupo de la escuela francesa a la cual pertenecen Brousseau, Chevallard, D`Amore, Artigue, Douady y Vergnaud entre otros. El trabajo de estos investigadores se ha caracterizado por establecer una concepción de didáctica que difiere de otros enfoques, es conocida como Didáctica Fundamental, cuyo propósito es formular nuevas teorías de enseñanza y aprendizaje teniendo como objeto de estudio: el conjunto de relaciones entre, el saber, los estudiantes y el profesor, en el contexto de la clase.
Brousseau (1983 c.p. Douady, 1993) como precursor de esta línea propone su teoría de situaciones didácticas como respuesta a la necesidad de tener un modelo propio de la actividad matemática en didáctica. Este autor define las situaciones didácticas como:
Un conjunto de relaciones establecidas explicita e implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (comprendiendo eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (el docente) con el fin de que los alumnos se apropien un saber constituido o en vía de constituirse (p.250)
Para que los estudiantes construyan un conocimiento es necesario que se interesen por resolver la situación problema planteada. Durante el proceso de resolución de la situación el estudiante utiliza sus conocimientos anteriores para proponer diferentes estrategias, las cuales modifica de acuerdo a las características de la situación, con el fin de obtener una respuesta coherente con lo formulado. En la transformación de las estrategias el estudiante construye el nuevo conocimiento.
Brousseau (1981, c.p. en Douady,1993) reconoce que las “concepciones de los estudiantes son el resultado de un intercambio permanente con las situaciones problemas a las cuales ellos se ven enfrentados, en el curso de las cuales los conocimientos anteriores son movilizados para ser modificados, completados o abandonados”. De esta manera, la teoría de las situaciones es una teoría de aprendizaje constructivista en la que el aprendizaje se produce como resultado del cambio de las concepciones iniciales.
Así como Brousseau, Vergnaud considera que los conceptos matemáticos se hacen significativos para los estudiantes a partir de la solución de un conjunto de situaciones, que para resolverlas se requieren varios conceptos puesto que no es posible solucionarla con un solo concepto, además de necesitar procedimientos y representaciones que se relacionan entre sí. A este conjunto de situaciones que cumplen con las características anteriores Vergnaud lo llama campo conceptual.