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miércoles, 26 de mayo de 2010

ANÁLISIS CONCEPTUAL DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Este capítulo comienza con una breve descripción de variación, luego, se presenta un esquema general de los conceptos básicos que intervienen en la construcción del concepto de desviación estándar para situar el concepto dentro del campo conceptual de la variación estadística, a continuación se explica la importancia de la desviación estándar dentro de la estadística y en cualquier contexto aplicable, finalmente el trabajo se enfoca en el concepto de desviación estándar a partir del análisis de algunas situaciones asociadas al concepto, sus representaciones e invariantes que servirán de base para la interpretación y categorización de las concepciones de los estudiantes.
La variación como objeto de conocimiento en el contexto estadístico
La variación se constituye como una interconexión entre múltiples conceptos ligados a la variabilidad de un conjunto de datos, cuya construcción requiere un marco organizativo de contenidos para desarrollar durante el proceso de enseñanza y aprendizaje en el aula. Variación y variabilidad son dos conceptos afines, pero no sinónimos. Shaughnessy (2004) distingue la definición de variación de la de variabilidad:
“El término variabilidad se entenderá como la característica [que varía] de la entidad que es observable, y el término variación en el sentido de la descripción o la medición de esta característica. Por consiguiente,….el "razonamiento acerca de la variación", se ocupará de los procesos cognitivos implicados en la descripción del fenómeno observado en situaciones que exponen la variabilidad, o la propensión para el cambio” (p. 202)

En consecuencia, el uso de la variación en situaciones de modelación de fenómenos estadístico permite visualizar los procedimientos y técnicas que el estudiante utiliza para resolverlas. La variación en estadística está estrechamente ligada a los conceptos de variable e incertidumbre. Con frecuencia es considerada como una medida que describe la dispersión o cantidad de datos que se desvían de una medida de tendencia central, como la desviación estándar. Sin embargo la variación comprende más que una medida, ya que su conceptualización es un factor primordial para el análisis de datos. Para conceptualizar la variación hay que considerar no solamente su definición o su fórmula o los procedimientos para usarla como instrumento de medición de la variabilidad, sino también tener en cuenta su utilidad dentro de un contexto o de una situación. A este respecto Vergnaud (1990) afirma que:
Un concepto no puede ser reducido a su definición, al menos si se está interesado en su aprendizaje y enseñanza. A través de las situaciones y de los problemas que se pretende resolver es como un concepto adquiere sentido para el estudiante. (p.1)
Por lo anterior se puede inferir que conceptualizar la variación requiere el conocimiento de más que un conjunto de representaciones del concepto que se presentan en forma aislada, sino también conocer la relación existente entre estas representaciones, sus propiedades y las situaciones que hacen que el concepto sea significativo para los estudiantes y los conceptos asociados a la variación.
La distribución es uno de los conceptos más relevantes asociados a la variación, que el estudiante debe dominar para su construcción, ya que la distribución se presenta como una representación visual de los datos que varían y que tiene sus propias características. Además, el análisis de la variabilidad de los valores en un conjunto de datos determina los procesos para la construcción del concepto de distribución.
La construcción de la noción de distribución implica, a su vez pensar en la comprensión de las medidas, propiedades, o las características asociadas a una distribución como son la media, la moda, la varianza y la desviación estándar, entre otras. Estas entidades (objetos) en forma separada, no centralizan el concepto estudiado y dejan de lado aspectos importantes del significado de la distribución dentro del contexto de una situación. Sin embargo, construir cada uno de estos objetos a partir de su relación conceptual con los demás objetos en situaciones de aprendizaje permitirá hacer significativo el concepto de distribución y en consecuencia el concepto de variación. En la figura 3 se presentan los conceptos implicados en la construcción del concepto de variación estocástica, dentro de las medidas de dispersión que permiten estudiar la variación se encuentra la desviación estándar.

Figura 3. Mapa conceptual de los conceptos básicos de la variación estocástica
La dispersión es una característica de la distribución en un conjunto de datos. En particular, la desviación estándar describe y cuantifica la variación con respecto a la media aritmética. Para visualizar la dispersión de los datos en una distribución se utilizan representaciones gráficas como histogramas, polígonos de frecuencias y diagramas de cajas, al igual que expresiones algebraicas y organizaciones tabulares con las cuales se analiza la desviación estándar.
Importancia de la desviación estándar dentro del marco conceptual de la variación
La desviación estándar es un concepto que se enmarca en el campo conceptual de la variación estadística. La variación puede ser medida en tres escenarios diferentes: de análisis de datos, de situaciones de muestreo y de situaciones de probabilidad. Esta investigación se centra en el escenario de análisis de datos y de manera más específica en el análisis de tablas, gráficas y medidas estadísticas asociadas a distribuciones para el análisis del concepto de desviación estándar.
Construir y organizar esta red de conceptos, requiere de procesos cognitivos que el estudiante debe desarrollar durante su proceso de aprendizaje y que se inicia con el reconocimiento y conocimiento de sus concepciones para lograr un acercamiento al concepto de variación. Esta construcción implica conocer y comprender cada uno de los conceptos que subyacen a la variación. Uno de aquellos conceptos es la desviación estándar, su importancia dentro de éste conjunto de conceptos radica en su utilidad para determinar la fiabilidad de un conjunto de datos a partir de su dispersión o variabilidad respecto de una medida de tendencia central. En cualquier conjunto de datos, las medidas de centralización como la media, la mediana y la moda sólo nos revelan una parte de la información que se necesita acerca de las características de los datos. Para ampliar la comprensión del patrón de los datos, debemos medir también su dispersión, extensión o variabilidad.
La desviación estándar proporciona información adicional para describir la variabilidad de los datos que permite juzgar la confiabilidad de las medidas de tendencia central. Cuando se presentan datos considerablemente dispersos (datos atípicos) las medidas de posición central son menos significativas en el análisis de los datos.
Existen otras medidas como la varianza que al igual que la desviación estándar se relaciona con la distancia promedio de cualquier observación del conjunto de datos con respecto a la media aritmética de la distribución, ésta se utilizan con frecuencia en la estadística descriptiva para medir la variación, y además, se propone en forma explícita como objeto de estudio en los estándares básicos de competencia en matemáticas. En términos algebraicos, la varianza es el promedio de los cuadrados de las distancias de los valores a la media aritmética, por lo que sus unidades son el cuadrado de las unidades de los datos. Las unidades en que se mide la varianza no la hacen sencilla de interpretar. Por esta razón, se recomienda el uso de una medida de variación que sea menos confusa en este sentido. Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, entonces su valor queda dado en las mismas unidades que las que se usen para medir los datos.
La propiedad anterior y algunas otras que hereda de la varianza, hacen que la desviación estándar sea una de las estadísticas más utilizadas para medir la dispersión de los datos de una distribución de frecuencias con respecto a la media. Su interpretación, determina el grado de variabilidad de un conjunto de datos para darle significado al fenómeno estadístico presentado en una situación.
Conceptos básicos de la desviación estándar
De acuerdo al análisis de textos realizado por Estepa (2004), sobre el significado de variación se puede decir que hay dos significados de este concepto: “el primero se refiere a la variación como concentración de los datos alrededor de un promedio y el segundo a la variación como homogeneidad de los datos de un dato a otro” (p.174). Aunque en este estudio, en las situaciones presentadas se considera estos dos significados asociados a la variación, es pertinente señalar que la desviación estándar fue construida para enfocarse en el primero de ellos.
Para solucionar una situación en la que se involucra el concepto de desviación estándar, es necesario tener en cuenta conceptos básicos de estadística como distribución, media, densidad y frecuencia y distancia a un punto de referencia desviación media, ya que a partir del dominio de estos y de las relaciones que se establecen entre ellos se elabora de manera más significativa el concepto. A continuación se describen cada uno de estos conceptos básicos definiéndolos e indicando las formas de representación que se utilizan en este trabajo de investigación.
Distribución
La distribución involucra la conceptualización de variable, frecuencia y densidad: “A cualquier carácter o fenómeno estadístico que pueda expresarse en valores numéricos se denomina variable” (Montero, 2007, p.2). Los resultados que se obtienen de la observación de una variable son los valores o datos, por ejemplo, el precio del café es una variable, 120, 125 y 130 en centavos de dólar por libra son ejemplos de datos o valores. La frecuencia se define como el número total de observaciones, valores o datos de una variable. Por ejemplo, en los datos 120, 120, 120, 125, 130 y 130 la frecuencia del valor 120 es 3 la de 125 es 1 y la de 130 es 2. A la concentración de datos alrededor de uno o varios valores específicos se le llama densidad. Por ejemplo, en los datos 100, 119 120, 120, 121, 122, 130, 140 y 141 hay muchos valores (cinco) concentrados alrededor del valor 120.
La representación tabular y gráfica siguiente nos permite visualizar la relación entre los valores, la frecuencia y la densidad de una variable. La distribución es una útil organización de los datos de una variable que se puede representar en términos tabulares y gráficos.
En el ejemplo de la distribución representada en forma tabular y gráfica de la figura 2 se observa que la variable de la distribución es la edad de los niños cuyos valores oscilan entre 2 y 5 años; las frecuencias que es el número de niños registrado por edad (f_i), con 2≤f_i≤5 y la densidad de cada valor, por ejemplo: el valor 4 se repite 2 veces dentro de la muestra, lo que indica una menor densidad con respecto al valor 5 que se repite 7 veces en la muestra.

Tabular Gráfica

Edad (años)
xi Nº de niños
fi
2 5
3 4
4 2
5 7


Figura 4. Representación de una distribución de frecuencia
Media aritmética
La media aritmética se define como el promedio aritmético de los datos de la distribución, es decir, el cociente entre la sumatoria de todos los valores de las observaciones y el número total de datos. En forma algebraica es:

Esta medida de centralización fija en un valor el comportamiento global de todos los valores de la distribución. Para comprender de manera más significativa el significado de la desviación estándar se requiere considerar la media como un punto de equilibrio de la distribución, más que simplemente cómo un procedimiento algorítmico para calcularla. Por lo general en forma gráfica la media se concentra entre los valores con mayor densidad.
La media se notará como y se indicará, en gráficos como los histogramas, con una flecha roja (ver Figura 5), como hay mayor densidad entre los valores 4 y 6 que entre los valores de 1 y 3, la media se ubica entre estos. Sin embargo hay distribuciones en las cuales la media no se ubica entre los valores de mayor densidad, sino que ha de tomarse como el punto de equilibrio de la distribución, además la media no siempre es igual a alguno de los valores de la variable (ver Figura 6)
Tabular Gráfico

Nº de hijos por familia






familia Tamaño(cm) Nº de familias encuestadas
1 1
3 5
4 6 6
6 4


Figura 5. Representación de la media aritmética igual a alguno
de los valores de la distribución

Tabular Gráfico

Cantidad de cigarrillos por día Nº de fumadores
1 8
2 2

3 0
4 0
5 0
6 3
7 6


Figura 6. Representación de la media aritmética diferente
a los valores de la distribución
Desviación media
La desviación media, se define como la distancia entre los valores y la media que se toma como punto de referencia; lo que requiere relacionar cada valor con respecto a la media. Se observa (ver Figura 7) que la desviación media es mayor cuanto más alejado estén los valores de los datos de la media y es menor cuanto más cerca estén los valores de éstos a la media
Tabular Gráfico
Tamaño
(cm) Nº de
peces Desviación media

2 1 1.8
3 5 0.8
4 6 0.2
5 4 1.2


Figura 7. Representación de las desviaciones medias
Si se tiene en cuenta todas las relaciones dadas entre la distribución, la media y la desviación media es posible construir una concepción de la desviación estándar como el promedio de las desviaciones de la media o la densidad relativa de los valores en torno a la media. La densidad en esta parte se concibe como la concentración de datos alrededor de la media, al analizar esta característica de la distribución se puede determinar el tamaño de la desviación estándar, el cual es pequeño si la densidad alrededor de la media es mayor que a los extremos de la distribución y viceversa.
Con ésta concepción de desviación estándar un estudiante puede predecir y tomar decisiones en situaciones donde se utiliza la desviación estándar. Para estudiar las concepciones de desviación estándar de los estudiantes es necesario analizar las clases de situaciones pertinentes que permitan conocer las relaciones, propiedades y operaciones usadas por los estudiantes, además de identificar las representaciones que utilizan para simbolizar, interpretar y describir los procedimientos realizados para solucionar la situación.
Análisis de situaciones que involucran la desviación estándar
A continuación se presentan algunas situaciones en diferentes contextos que se consideran como significativos para los estudiantes en las cuales se utilizan la desviación estándar. En cada una de ellas se describe en forma general las características de la situación, los invariantes y las formas de representación necesarias para resolver la situación. Para seleccionar las clases de situaciones se tomó como referencia la investigación de Estepa y Ortega, (2006) donde se plantean las siguientes situaciones.
S1. Variación por rangos: al encontrar la diferencia máxima en un conjunto
o subgrupo de datos
S2. Variación por desviaciones: al medir en forma apropiada, la variación
de los datos alrededor de un promedio.
S3. Comparaciones globales. Se presentan dos clases:
S3a.Al comparar la variación en dos o más distribuciones medidas con igual
magnitud.
S3b. Al comparar la variación en dos o más distribuciones medidas en
diferente magnitud.
S4. Comparaciones locales externas: al comparar la posición relativa de
los datos en diferentes distribuciones.
S5. Comparaciones locales internas: al percibir e interpretar valores
atípicos.
S6. Problema inverso para medir la dispersión: al generar datos a partir de
ciertos requisitos en la variación.
S7. Elección de la mejor medida de variación: al decidir la mejor medida
de dispersión en un conjunto de datos. (p.2)
Para el presente análisis se considera pertinente utilizar las situaciones S2 (algorítmica), S3a y S4 (relación entre distribuciones), S6 y S7 (situaciones con condiciones establecidas) las cuales se analizan y adaptan para el análisis conceptual de la desviación estándar que se tendrá como base en esta investigación con el propósito de realizar el estudio de las concepciones de la desviación estándar.
Situaciones algorítmicas
En estas situaciones se hace necesario el uso de una fórmula algebraica para calcular la desviación estándar. En ellas, se parte de un conjunto de datos, donde las variables a analizar pueden ser tomadas en contextos fenomenológicos para presentar situaciones significativas a los estudiantes, como por ejemplo, el cambio de la temperatura en un lugar determinado durante un tiempo específico, la variación del dólar durante una semana, la variación de las estaturas de un grupo de personas con igual edad, el índice de natalidad de un país durante un mes, entre otras tomadas de diferentes áreas de estudio. Sin embargo, hacer el estudio de ellas, se limita al empleo de un algoritmo para determinar el valor de la variación.
Representaciones
La fórmula que se utiliza para solucionar esta clase de situación, depende de la forma en que se presenten los datos.
Si en la situación se presentan los datos en forma no agrupada se utiliza la expresión algebraica: s=√((∑▒(x-x ̅ )^2 )/(n-1)), donde:
s: representa la desviación estándar.
x : representa los valores que toma la variable.
x ̅: representa la media aritmética de los valores de la muestra.
n: representa el tamaño de la muestra.
Si en la situación se presentan los datos en forma agrupada se utiliza la expresión: s=√((∑▒〖f(x-x ̅ )〗^2 )/(n-1)), donde representa la frecuencia de los valores.
Invariantes
La desviación estándar es un valor numérico que se determina con la fórmula.
La desviación estándar es una medida de variación no negativa y su unidad de medida es igual a la de los valores.
Al calcular el valor de la desviación estándar se tienen en cuenta todos los valores de la variable.
La desviación estándar mide la confiabilidad de la media aritmética, dado que está influenciada por los valores extremos, unos pocos datos atípicos incrementan su valor.
La desviación estándar de un conjunto de datos de una muestra es la medida de cuanto se separa la media de los datos y se determina de
la siguiente manera:
Se halla la media aritmética de la distribución y la desviación media de cada valor, después, se calculan los cuadrados de las desviaciones medias, en seguida, se divide la suma de los cuadrados de las desviaciones medias entre el número de datos y para finalizar se halla la raíz cuadrada del resultado anterior, para volver a las unidades originales; al número resultante se le llama desviación estándar.
Situación 1
En promedio, hay 600 muertes debido a accidentes de tráfico cada año en Bogotá. La policía de tránsito registró (ver Tabla 2) los datos correspondientes a los meses de febrero y marzo, con base en ellos conteste: ¿Cuál es la desviación estándar del conjunto de datos?
Tabla 2. Registro de mortalidad en accidentes de tránsito
FEBRERO NÚMERO DE MUERTES
Semana 1 3
Semana 2 12
Semana 3 21
Semana 4 14
MARZO
Semana 5 2
Solución: Como los datos no están agrupados se utiliza la fórmula s=√((x-x ̅ )^2/(n-1)). En la cual se tiene en cuenta que n = 5, las frecuencias son: 3, 12, 21, 14 y 2, y la media que se obtiene es x ̅=10,4, luego:

El valor de la desviación estándar es de 3,9.
Aunque con la información presentada en la situación y la desviación estándar se puede realizar un análisis estadístico que permita predecir y tomar decisiones, el planteamiento de la situación limita su solución a determinar un valor numérico.
Situaciones de relación entre distribuciones
En estas situaciones se presentan dos o más distribuciones dentro de un contexto, en las cuales se compara el valor de la desviación estándar para determinar cuándo una es mayor, menor o igual a otra y a partir de esta relación determinar el comportamiento de la variable implicada en la situación. Sin embargo estas situaciones pueden estar planteadas de tal forma que sólo se realice una comparación numérica de los valores de las desviaciones estándar, sin tener en cuenta su significado dentro del contexto.
Representaciones
Las situaciones se pueden representar con: tablas de frecuencia, gráficas de distribución o como un conjunto de datos de una muestra. En forma general:
Tabla de frecuencia Gráfica de la distribución Conjunto de datos
Datos Frecuencia







Figura 8. Representaciones de una distribución
Para facilitar la comparación de las distribuciones es recomendable utilizar las representaciones de tabla de frecuencias y gráfica de la distribución, porque permiten visualizar la relación entre los elementos de la distribución y determinar su variabilidad.
Invariantes
Al comparar la desviación estándar de dos distribuciones se tiene en cuenta la densidad de los valores alrededor de la media. Se presentan dos casos, el primero cuando el valor de las desviaciones estándar es diferente y el segundo cuando la desviación es igual.
Cuando el valor de las desviaciones estándar de dos distribuciones es diferente, se puede determinar la relación de orden existente entre ellas, teniendo en cuenta las siguientes condiciones:
La desviación estándar es mayor si la densidad alrededor de la media es menor, esto se debe a que la menor cantidad de los datos están cercanos a la media y el promedio de sus desviaciones es más pequeño en relación con el promedio de las desviaciones de la mayoría de los datos que están alejados de la media. Una desviación estándar de valor grande indica una variabilidad mayor de los datos de una distribución, es decir, que la mayoría de los datos se encuentran alejados de la media o unos de otros.
La desviación estándar es menor si la densidad de los valores es mayor alrededor de la media y menor a los extremos, esto se debe a que la mayor cantidad de datos están cercanos a la media y el promedio de sus desviaciones es menor en comparación con el promedio de las desviaciones de los pocos datos que se encuentran alejados de la media. Si la desviación estándar es pequeña indica menor variabilidad de los valores alrededor de la media, es decir que la mayoría de los datos se encuentran cercanos a la media aritmética.
En el segundo caso, se presenta que la desviación estándar es igual si los valores y las frecuencias varían de la siguiente forma: Cada valor aumenta o disminuye en la misma cantidad y las frecuencias se invierten en orden o se mantienen iguales.
Si una distribución se obtiene al modificar cada valor de una distribución inicial sumándole una constante m, sin cambiar sus frecuencias, entonces, se puede concluir que se realizó una translación de m unidades a la distribución inicial. En una distribución en la que se observa que se modifican los valores a partir de una translación, la media cambia, pero se ubica en la misma posición dentro de la distribución (parte izquierda de la barra verde, ver Figura 11), las desviaciones medias no se modifican porque las distancias de los valores a la media son constantes, por tanto la desviación estándar es igual. Ahora se verifica en forma algebraica esta propiedad de la desviación estándar:
Sea S_(x_i ) la desviación estándar de una distribución:
s_(x_i )=√(∑_(i=1)^n▒((x_i-x ̅ )^2.f)/n)
Si se traslada cada valor m lugares, es decir que:〖 x〗_i se traslada,
x_i+m=y_i entonces, x ̅ se traslada x ̅¬+m=y ̅ .
La desviación estándar para y_i es:
〖S_y〗_i=√(∑_(i=1)^n▒((x_i+m-(x ̅+m) )^2.f)/n=√(∑_(i=1)^n▒((x_i+m-x ̅-m)^2.f)/n)=√(∑_(i=1)^n▒((x_i-x ̅ )^2.f)/n)) =S_(x_i )
Luego la desviación estándar es igual en las dos distribuciones.
Si una distribución se obtiene al modificar cada valor de una distribución inicial sumándole una constante m y distribuyendo las frecuencias en orden inverso sobre los datos, entonces se puede afirmar que se realizó una reflexión de la distribución con respecto a un valor de los datos. En una distribución en la que se observa que se modifican los valores y sus frecuencias a partir de una reflexión, la media cambia y las desviaciones medias se modifican en orden invertido al igual que las frecuencias, luego la desviación estándar es igual. Ahora se verifica en forma algebraica esta propiedad de la desviación estándar:
Dada una distribución cuya desviación estándar es: S_(x_i )=√(∑_(i=1)^n▒((x_i-x ̅ )^2.f)/n)
Si se reflejan los valores x_i en -x_i donde -x_i=x_i+m, la desviación estándar se mantiene constante, porque:
.
Luego la desviación estándar es igual en las dos distribuciones.
Como se establecen dos invariantes para éste tipo de situaciones se presentará una serie de ejemplos, donde se evidencie cada uno de ellos.

Situación 2
En un colegio se comparan los resultados de una prueba de ortografía aplicada a los grupos de once, para conocer qué grupo es mejor en ortografía. En los gráficos se muestran los resultados de las calificaciones de cada grupo.


Figura 9. Resultados prueba de ortografía
Observa los resultados de cada grupo y decide: ¿Los grupos tienen resultados iguales o a qué grupo le fue mejor? Justifica tu respuesta.
Solución: Como el valor de la media en las dos muestras es igual, para determinar a cuál de los grupos le fue mejor se analiza la variación de los datos con respecto a la media. Con base en la información presentada en los histogramas, se observa que la densidad de los valores de las calificaciones es mayor alrededor de la media en el grupo 1101, contrario al grupo 1102, donde la densidad de los valores alrededor de la media aritmética es menor, con base en el tamaño de la densidad alrededor de la media se concluye que la desviación estándar es mayor en el grupo 1102. La misma conclusión se obtiene si se observa la densidad a los extremos de la distribución, en donde en el grupo 1101 la densidad es menor que en el grupo 1102, ya que el valor de la desviación estándar es menor cuando menor es la densidad a los extremos. El grupo 1101 obtuvo mejores calificaciones porque la medida de la desviación estándar indica menor variabilidad en las calificaciones de los estudiantes, lo que implica que en general más estudiantes obtuvieron calificaciones cercanas a 7,1 que es el promedio de los dos grupos.
Situación 3
En un colegio de Bogotá se desea hacer un estudio acerca del estado de nutrición de los estudiantes de grado preescolar y los estudiantes de grado sexto, para determinar a cuáles de ellos se les debe proporcionar en su alimentación una dosis adicional de vitaminas, las cuales fueron entregadas gratuitamente por el hospital de la localidad a la cual pertenece el colegio. Para realizar dicho estudio se midieron los pesos de una muestra representativa de cada grado, los resultados obtenidos fueron:

Preescolar (edades 4-5-6 años)
Peso (Kg) Nº de Estudiantes Eestudiantes
16 - 17,9 8
18 - 19,9 10
20 - 21,9 9
22 - 23,9 1
24 - 26 2






Grado sexto (edades 10-11-12 años )


Peso (Kg) Nº de estudiantes
26 – 27,9 8
28 – 29,9 10
30 –31,9 9
32 – 33,9 1
34 – 36 2


Figura 10. Información sobre el peso de estudiantes
¿A cuál grado finalmente se le proporciona las vitaminas adicionales con su refrigerio? Como criterio de decisión se escoge al grupo con mayor índice de una mala nutrición, es decir, en el cual hayan más estudiantes con bajo peso o sobrepeso. Justifique su respuesta.
Solución: La desviación estándar en las dos muestras es igual aunque los pesos de los estudiantes de los respectivos grados son diferentes, porque al observar la información se encuentra que la cantidad de datos (Peso en Kg) recogidos en cada muestra es igual y el número de estudiantes se distribuye sobre los datos en el mismo orden y cantidad. Como la desviación estándar es igual se puede inferir que el estado de nutrición de los estudiantes en los dos grados es similar, por lo que el colegio debe adicionar dosis de vitaminas con los refrigerios a los estudiantes de los dos grados.
Situación 4
Una empresa que cultiva flores para exportación desea sembrar una nueva semilla que debe plantarse en terrenos cuya temperatura ambiente no sea muy variable. Para establecer el lugar adecuado realizan un estudio en dos lugares diferentes, midiendo la temperatura promedio de cada hora del día durante una semana, los datos registrados se presentan en la figura 11.
MUESTRA A

Temperatura (ºC) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Promedio de nº de horas en el día durante una semana 2.5 0.5 1.5 3.5 2 1 1.5 0.5 4 0.5 0 2.5 0 0.5 2 1.5



MUESTRA B

Temperatura (ºC) 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Promedio de nº de horas en el día durante una semana 1.5 2 0.5 0 2.5 0 0.5 4 0.5 1.5 1 2 3.5 1.5 0.5 2.5


Figura 11. Variación de temperaturas de dos lugares
A partir de ellos, determine ¿cuál de los dos lugares es más indicado para cultivar esta nueva especie de flor? Justifique su respuesta.
Solución: En la información se observa que cada dato de las temperaturas registrado en la muestra B se incrementa en 10ºC con respecto a cada dato de la muestra A y el promedio de número de horas en el día se distribuye en la muestra B en orden inverso al de la muestra A.
Como la desviación estándar es igual para las dos muestras se puede inferir que la variación de la temperatura en los dos lugares es la misma, luego cualquiera de estos sitios es adecuado para cultivar la nueva especie de flor.
Situaciones de predicción utilizadas para la toma de decisiones
En estas situaciones se presentan una o más distribuciones en las cuales se tiene en cuenta el valor de la desviación estándar para predecir el comportamiento de la variable. Con base en este análisis se toman decisiones para lograr resultados acertados en un contexto particular. En la mayoría de situaciones de esta clase la variable se mide con respecto al tiempo, por ejemplo, los estudios de meteorología para predecir el clima, la valorización de una moneda para predecir su estabilidad, la valorización de una acción de una empresa para determinar si es favorable invertir, entre otras.
Representaciones
Gráfica de líneas Gráfica de barras



Figura 12. Clases de representación del comportamiento
de una variable con respecto al tiempo
Se utilizan las tablas de datos y con mayor frecuencia las gráficas de líneas o de barras, ya que éstas permiten visualizar con facilidad las variaciones de los datos como se observa en la figura 12.
Invariantes
La desviación estándar mide la variación del comportamiento de la variable con respecto al tiempo. Si la desviación estándar es pequeña es posible predecir el comportamiento de la variable ya que éste es más estable, por el contrario si la desviación estándar es grande es incierto realizar una predicción.
Si el valor de la desviación estándar de una variable medida con respecto al tiempo es pequeño, se puede predecir que el comportamiento de la variable tiende a ser constante.
Un valor grande de la desviación estándar de una variable medida con respecto al tiempo indica que la variable presenta un comportamiento inestable, por lo tanto las predicciones realizadas en esta situación no son confiables ó no se puede predecir un comportamiento a futuro.
Al comparar el comportamiento de una variable en dos distribuciones A y B, si el promedio de la distancia de los valores alrededor de la media en A es menor que el promedio de la distancia de los valores a la media en B, entonces se puede afirmar que la desviación estándar es menor en A. Por lo tanto el comportamiento de la variable en la distribución A, tiende a ser más estable que en B.
Las decisiones que se tomen en esta clase de situaciones dependen del contexto de la situación, ya que en algunos casos es conveniente el comportamiento de la distribución A y en otros los de B, por ejemplo: si se va a estudiar la edad de los árboles en dos bosques nacionales, para determinar a cuál de ellos se le debe realizar un proceso de restauración es conveniente decidirse por el bosque nacional cuyo comportamiento se asemeje al de la distribución B ó en el caso en que se quiere determinar la confiabilidad de dos líneas de producción de neumáticos nuevos donde se ha medido el diámetro de los neumáticos producidos en diferentes fábricas, es preferible que se escoja la línea cuyo comportamiento se asemeje a la distribución A porque así se asegura la calidad de la línea de neumáticos.
Situación 5
Una empresa exportadora de café, tiene una reserva de sacos de café arábica suave, de acuerdo al comportamiento del precio del café en los últimos 6 meses.
Mes Valor
(centavos de dólar americano por libra)
Nov 2008 120,44
Dic 2008 116,97
Ene 2009 128,03
Feb 2009 128,51
Mar 2009 127,76
Abr 2009 134,58


Figura 13. Comportamiento del café durante seis meses
¿Cuántos centavos de dólar ha variado durante este tiempo?
¿Es conveniente negociar su reserva para exportarla en el mes de mayo?
Solución: En la gráfica de líneas se puede observar que aunque las variaciones de los valores del precio del café en los meses de noviembre y diciembre son mayores que en los meses de enero, febrero y marzo, en general los valores están cercanos a la media, luego las desviaciones medias son pequeñas y en consecuencia la desviación estándar también lo es, por tanto el precio del café se mantiene más o menos estable y se puede determinar que es conveniente negociar la reserva de sacos.
Situación 6
Un grupo de personas desean invertir el dinero de sus cesantías en acciones que se cotizan en la Bolsa de Valores de Colombia para mejorar su rentabilidad, pero además que su inversión sea segura. (Alta rentabilidad). En los siguientes datos se presenta la valorización del precio de una acción de Ecopetrol y de Isagen durante los meses de abril y mayo de 2009. Observando el comportamiento del precio de las acciones.
¿Cuál de las dos empresas es más confiable para invertir?
Tabla 3. Precio de una acción en dos empresas
FECHAS ECOPETROL (Pesos)

PRECIO EN PESOS ISAGEN (Pesos)
24 de abril 2130.00 1925.00
27 2125.00 1915.00
28 2125.00 1995.00
29 2145.00 2055.00
30 2120.00 2025.00
4 de mayo 2150.00 2045.00
5 2135.00 2040.00
6 2165.00 2040.00
7 2210.00 2035.00
8 2330.00 2125.00
11 2275.00 2130.00
12 2305.00 2125.00
13 2285.00 2120.00
14 2290.00 2145.00
15 2275.00 2125.00
18 2285.00 2150.00
19 2355.00 2170.00


ECOPETROL ISAGEN

Figura 14. Variación del precio de las acciones de Ecopetrol e Isagen
Solución: Al observar las gráficas de barras se puede concluir que la densidad alrededor de la media es mayor en la gráfica de Isagen que en la de Ecopetrol, luego la desviación estándar es más pequeña en el precio de la acción de Isagen que en el precio de la acción de Ecopetrol. Aunque el valor de la media es mayor en las acciones de Ecopetrol que en las de Isagen, el precio de una acción de Isagen es más estable que en Ecopetrol. Como el grupo que desea invertir busca que su inversión sea segura, lo mejor es comprar acciones de Isagen cuyo comportamiento es más estable.
Situaciones con condiciones establecidas
En esta clase de situaciones se construye una distribución a partir de condiciones iniciales. Estas situaciones no se tendrán en cuenta en este análisis conceptual, porque su grado de dificultad es alto para los estudiantes con los que se realiza el estudio de las concepciones de la desviación estándar, sin embargo pueden ser útiles para un estudio similar con estudiantes de nivel universitario.
Para concluir, se presenta la relación existente entre las diferentes situaciones analizadas a través de las cuales se realiza el estudio de la desviación estándar, las representaciones y los procesos implicados en la solución. A partir de esta relación surgen los invariantes que son los conceptos, propiedades y relaciones que pueden ser reconocidos y utilizados por los estudiantes para analizar y resolver las situaciones.
En la figura 15, se observa la relación jerárquica existente entre las situaciones que dan sentido al concepto de la desviación estándar. A medida que los estudiantes se enfrenten a estas situaciones, empezará a tener significado para ellos el concepto de desviación estándar y así, continuar con su proceso de conceptualización.
En principio los estudiantes hacen uso de los procesos algorítmicos para determinar el valor de la desviación estándar y dar solución a la situación, sin analizar la respuesta dentro del contexto de la situación. Es de resaltar, que en las situaciones algorítmicas es suficiente calcular el valor numérico de la desviación estándar.


Figura 15. Situaciones que dan sentido al concepto de desviación estándar

Ahora bien, si se presentan situaciones de relación entre distribuciones donde se deba tomar una decisión, se hace necesario además identificar la relación de orden entre las desviaciones estándar y con base al contexto decidir en forma acertada. Sin embargo, las situaciones de comparación se pueden resolver a través de estimaciones, observando el comportamiento de los datos en una gráfica de distribución. Cuando los estudiantes dominen estas situaciones y reconozcan el significado de la desviación estándar en una distribución, y lo que representa dentro del contexto de la situación, estarán preparados para realizar predicciones en situaciones más complejas que requieran de esta etapa de conceptualización.
Por lo tanto, el proceso de conceptualización como lo afirma Vergnaud(1990), se da a partir de la operacionalidad del concepto la cual se experimenta por medio de diversas situaciones, del uso de significantes explícitos (representaciones) y significados ( invariantes).
Y por último, las situaciones con mayor grado de dificultad son aquellas en las que se plantean condiciones iniciales de la desviación estándar para generar los datos de una distribución. Las situaciones con condiciones iniciales requieren para su solución estimaciones, predicciones y cálculos algebraicos complejos como lo indica Estepa (2006). Esta clase de situaciones se dejan para estudiantes de nivel universitario, por ello en los textos escolares no se presentan.

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