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miércoles, 26 de mayo de 2010

ANÁLISIS CONCEPTUAL DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Este capítulo comienza con una breve descripción de variación, luego, se presenta un esquema general de los conceptos básicos que intervienen en la construcción del concepto de desviación estándar para situar el concepto dentro del campo conceptual de la variación estadística, a continuación se explica la importancia de la desviación estándar dentro de la estadística y en cualquier contexto aplicable, finalmente el trabajo se enfoca en el concepto de desviación estándar a partir del análisis de algunas situaciones asociadas al concepto, sus representaciones e invariantes que servirán de base para la interpretación y categorización de las concepciones de los estudiantes.
La variación como objeto de conocimiento en el contexto estadístico
La variación se constituye como una interconexión entre múltiples conceptos ligados a la variabilidad de un conjunto de datos, cuya construcción requiere un marco organizativo de contenidos para desarrollar durante el proceso de enseñanza y aprendizaje en el aula. Variación y variabilidad son dos conceptos afines, pero no sinónimos. Shaughnessy (2004) distingue la definición de variación de la de variabilidad:
“El término variabilidad se entenderá como la característica [que varía] de la entidad que es observable, y el término variación en el sentido de la descripción o la medición de esta característica. Por consiguiente,….el "razonamiento acerca de la variación", se ocupará de los procesos cognitivos implicados en la descripción del fenómeno observado en situaciones que exponen la variabilidad, o la propensión para el cambio” (p. 202)

En consecuencia, el uso de la variación en situaciones de modelación de fenómenos estadístico permite visualizar los procedimientos y técnicas que el estudiante utiliza para resolverlas. La variación en estadística está estrechamente ligada a los conceptos de variable e incertidumbre. Con frecuencia es considerada como una medida que describe la dispersión o cantidad de datos que se desvían de una medida de tendencia central, como la desviación estándar. Sin embargo la variación comprende más que una medida, ya que su conceptualización es un factor primordial para el análisis de datos. Para conceptualizar la variación hay que considerar no solamente su definición o su fórmula o los procedimientos para usarla como instrumento de medición de la variabilidad, sino también tener en cuenta su utilidad dentro de un contexto o de una situación. A este respecto Vergnaud (1990) afirma que:
Un concepto no puede ser reducido a su definición, al menos si se está interesado en su aprendizaje y enseñanza. A través de las situaciones y de los problemas que se pretende resolver es como un concepto adquiere sentido para el estudiante. (p.1)
Por lo anterior se puede inferir que conceptualizar la variación requiere el conocimiento de más que un conjunto de representaciones del concepto que se presentan en forma aislada, sino también conocer la relación existente entre estas representaciones, sus propiedades y las situaciones que hacen que el concepto sea significativo para los estudiantes y los conceptos asociados a la variación.
La distribución es uno de los conceptos más relevantes asociados a la variación, que el estudiante debe dominar para su construcción, ya que la distribución se presenta como una representación visual de los datos que varían y que tiene sus propias características. Además, el análisis de la variabilidad de los valores en un conjunto de datos determina los procesos para la construcción del concepto de distribución.
La construcción de la noción de distribución implica, a su vez pensar en la comprensión de las medidas, propiedades, o las características asociadas a una distribución como son la media, la moda, la varianza y la desviación estándar, entre otras. Estas entidades (objetos) en forma separada, no centralizan el concepto estudiado y dejan de lado aspectos importantes del significado de la distribución dentro del contexto de una situación. Sin embargo, construir cada uno de estos objetos a partir de su relación conceptual con los demás objetos en situaciones de aprendizaje permitirá hacer significativo el concepto de distribución y en consecuencia el concepto de variación. En la figura 3 se presentan los conceptos implicados en la construcción del concepto de variación estocástica, dentro de las medidas de dispersión que permiten estudiar la variación se encuentra la desviación estándar.

Figura 3. Mapa conceptual de los conceptos básicos de la variación estocástica
La dispersión es una característica de la distribución en un conjunto de datos. En particular, la desviación estándar describe y cuantifica la variación con respecto a la media aritmética. Para visualizar la dispersión de los datos en una distribución se utilizan representaciones gráficas como histogramas, polígonos de frecuencias y diagramas de cajas, al igual que expresiones algebraicas y organizaciones tabulares con las cuales se analiza la desviación estándar.
Importancia de la desviación estándar dentro del marco conceptual de la variación
La desviación estándar es un concepto que se enmarca en el campo conceptual de la variación estadística. La variación puede ser medida en tres escenarios diferentes: de análisis de datos, de situaciones de muestreo y de situaciones de probabilidad. Esta investigación se centra en el escenario de análisis de datos y de manera más específica en el análisis de tablas, gráficas y medidas estadísticas asociadas a distribuciones para el análisis del concepto de desviación estándar.
Construir y organizar esta red de conceptos, requiere de procesos cognitivos que el estudiante debe desarrollar durante su proceso de aprendizaje y que se inicia con el reconocimiento y conocimiento de sus concepciones para lograr un acercamiento al concepto de variación. Esta construcción implica conocer y comprender cada uno de los conceptos que subyacen a la variación. Uno de aquellos conceptos es la desviación estándar, su importancia dentro de éste conjunto de conceptos radica en su utilidad para determinar la fiabilidad de un conjunto de datos a partir de su dispersión o variabilidad respecto de una medida de tendencia central. En cualquier conjunto de datos, las medidas de centralización como la media, la mediana y la moda sólo nos revelan una parte de la información que se necesita acerca de las características de los datos. Para ampliar la comprensión del patrón de los datos, debemos medir también su dispersión, extensión o variabilidad.
La desviación estándar proporciona información adicional para describir la variabilidad de los datos que permite juzgar la confiabilidad de las medidas de tendencia central. Cuando se presentan datos considerablemente dispersos (datos atípicos) las medidas de posición central son menos significativas en el análisis de los datos.
Existen otras medidas como la varianza que al igual que la desviación estándar se relaciona con la distancia promedio de cualquier observación del conjunto de datos con respecto a la media aritmética de la distribución, ésta se utilizan con frecuencia en la estadística descriptiva para medir la variación, y además, se propone en forma explícita como objeto de estudio en los estándares básicos de competencia en matemáticas. En términos algebraicos, la varianza es el promedio de los cuadrados de las distancias de los valores a la media aritmética, por lo que sus unidades son el cuadrado de las unidades de los datos. Las unidades en que se mide la varianza no la hacen sencilla de interpretar. Por esta razón, se recomienda el uso de una medida de variación que sea menos confusa en este sentido. Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, entonces su valor queda dado en las mismas unidades que las que se usen para medir los datos.
La propiedad anterior y algunas otras que hereda de la varianza, hacen que la desviación estándar sea una de las estadísticas más utilizadas para medir la dispersión de los datos de una distribución de frecuencias con respecto a la media. Su interpretación, determina el grado de variabilidad de un conjunto de datos para darle significado al fenómeno estadístico presentado en una situación.
Conceptos básicos de la desviación estándar
De acuerdo al análisis de textos realizado por Estepa (2004), sobre el significado de variación se puede decir que hay dos significados de este concepto: “el primero se refiere a la variación como concentración de los datos alrededor de un promedio y el segundo a la variación como homogeneidad de los datos de un dato a otro” (p.174). Aunque en este estudio, en las situaciones presentadas se considera estos dos significados asociados a la variación, es pertinente señalar que la desviación estándar fue construida para enfocarse en el primero de ellos.
Para solucionar una situación en la que se involucra el concepto de desviación estándar, es necesario tener en cuenta conceptos básicos de estadística como distribución, media, densidad y frecuencia y distancia a un punto de referencia desviación media, ya que a partir del dominio de estos y de las relaciones que se establecen entre ellos se elabora de manera más significativa el concepto. A continuación se describen cada uno de estos conceptos básicos definiéndolos e indicando las formas de representación que se utilizan en este trabajo de investigación.
Distribución
La distribución involucra la conceptualización de variable, frecuencia y densidad: “A cualquier carácter o fenómeno estadístico que pueda expresarse en valores numéricos se denomina variable” (Montero, 2007, p.2). Los resultados que se obtienen de la observación de una variable son los valores o datos, por ejemplo, el precio del café es una variable, 120, 125 y 130 en centavos de dólar por libra son ejemplos de datos o valores. La frecuencia se define como el número total de observaciones, valores o datos de una variable. Por ejemplo, en los datos 120, 120, 120, 125, 130 y 130 la frecuencia del valor 120 es 3 la de 125 es 1 y la de 130 es 2. A la concentración de datos alrededor de uno o varios valores específicos se le llama densidad. Por ejemplo, en los datos 100, 119 120, 120, 121, 122, 130, 140 y 141 hay muchos valores (cinco) concentrados alrededor del valor 120.
La representación tabular y gráfica siguiente nos permite visualizar la relación entre los valores, la frecuencia y la densidad de una variable. La distribución es una útil organización de los datos de una variable que se puede representar en términos tabulares y gráficos.
En el ejemplo de la distribución representada en forma tabular y gráfica de la figura 2 se observa que la variable de la distribución es la edad de los niños cuyos valores oscilan entre 2 y 5 años; las frecuencias que es el número de niños registrado por edad (f_i), con 2≤f_i≤5 y la densidad de cada valor, por ejemplo: el valor 4 se repite 2 veces dentro de la muestra, lo que indica una menor densidad con respecto al valor 5 que se repite 7 veces en la muestra.

Tabular Gráfica

Edad (años)
xi Nº de niños
fi
2 5
3 4
4 2
5 7


Figura 4. Representación de una distribución de frecuencia
Media aritmética
La media aritmética se define como el promedio aritmético de los datos de la distribución, es decir, el cociente entre la sumatoria de todos los valores de las observaciones y el número total de datos. En forma algebraica es:

Esta medida de centralización fija en un valor el comportamiento global de todos los valores de la distribución. Para comprender de manera más significativa el significado de la desviación estándar se requiere considerar la media como un punto de equilibrio de la distribución, más que simplemente cómo un procedimiento algorítmico para calcularla. Por lo general en forma gráfica la media se concentra entre los valores con mayor densidad.
La media se notará como y se indicará, en gráficos como los histogramas, con una flecha roja (ver Figura 5), como hay mayor densidad entre los valores 4 y 6 que entre los valores de 1 y 3, la media se ubica entre estos. Sin embargo hay distribuciones en las cuales la media no se ubica entre los valores de mayor densidad, sino que ha de tomarse como el punto de equilibrio de la distribución, además la media no siempre es igual a alguno de los valores de la variable (ver Figura 6)
Tabular Gráfico

Nº de hijos por familia






familia Tamaño(cm) Nº de familias encuestadas
1 1
3 5
4 6 6
6 4


Figura 5. Representación de la media aritmética igual a alguno
de los valores de la distribución

Tabular Gráfico

Cantidad de cigarrillos por día Nº de fumadores
1 8
2 2

3 0
4 0
5 0
6 3
7 6


Figura 6. Representación de la media aritmética diferente
a los valores de la distribución
Desviación media
La desviación media, se define como la distancia entre los valores y la media que se toma como punto de referencia; lo que requiere relacionar cada valor con respecto a la media. Se observa (ver Figura 7) que la desviación media es mayor cuanto más alejado estén los valores de los datos de la media y es menor cuanto más cerca estén los valores de éstos a la media
Tabular Gráfico
Tamaño
(cm) Nº de
peces Desviación media

2 1 1.8
3 5 0.8
4 6 0.2
5 4 1.2


Figura 7. Representación de las desviaciones medias
Si se tiene en cuenta todas las relaciones dadas entre la distribución, la media y la desviación media es posible construir una concepción de la desviación estándar como el promedio de las desviaciones de la media o la densidad relativa de los valores en torno a la media. La densidad en esta parte se concibe como la concentración de datos alrededor de la media, al analizar esta característica de la distribución se puede determinar el tamaño de la desviación estándar, el cual es pequeño si la densidad alrededor de la media es mayor que a los extremos de la distribución y viceversa.
Con ésta concepción de desviación estándar un estudiante puede predecir y tomar decisiones en situaciones donde se utiliza la desviación estándar. Para estudiar las concepciones de desviación estándar de los estudiantes es necesario analizar las clases de situaciones pertinentes que permitan conocer las relaciones, propiedades y operaciones usadas por los estudiantes, además de identificar las representaciones que utilizan para simbolizar, interpretar y describir los procedimientos realizados para solucionar la situación.
Análisis de situaciones que involucran la desviación estándar
A continuación se presentan algunas situaciones en diferentes contextos que se consideran como significativos para los estudiantes en las cuales se utilizan la desviación estándar. En cada una de ellas se describe en forma general las características de la situación, los invariantes y las formas de representación necesarias para resolver la situación. Para seleccionar las clases de situaciones se tomó como referencia la investigación de Estepa y Ortega, (2006) donde se plantean las siguientes situaciones.
S1. Variación por rangos: al encontrar la diferencia máxima en un conjunto
o subgrupo de datos
S2. Variación por desviaciones: al medir en forma apropiada, la variación
de los datos alrededor de un promedio.
S3. Comparaciones globales. Se presentan dos clases:
S3a.Al comparar la variación en dos o más distribuciones medidas con igual
magnitud.
S3b. Al comparar la variación en dos o más distribuciones medidas en
diferente magnitud.
S4. Comparaciones locales externas: al comparar la posición relativa de
los datos en diferentes distribuciones.
S5. Comparaciones locales internas: al percibir e interpretar valores
atípicos.
S6. Problema inverso para medir la dispersión: al generar datos a partir de
ciertos requisitos en la variación.
S7. Elección de la mejor medida de variación: al decidir la mejor medida
de dispersión en un conjunto de datos. (p.2)
Para el presente análisis se considera pertinente utilizar las situaciones S2 (algorítmica), S3a y S4 (relación entre distribuciones), S6 y S7 (situaciones con condiciones establecidas) las cuales se analizan y adaptan para el análisis conceptual de la desviación estándar que se tendrá como base en esta investigación con el propósito de realizar el estudio de las concepciones de la desviación estándar.
Situaciones algorítmicas
En estas situaciones se hace necesario el uso de una fórmula algebraica para calcular la desviación estándar. En ellas, se parte de un conjunto de datos, donde las variables a analizar pueden ser tomadas en contextos fenomenológicos para presentar situaciones significativas a los estudiantes, como por ejemplo, el cambio de la temperatura en un lugar determinado durante un tiempo específico, la variación del dólar durante una semana, la variación de las estaturas de un grupo de personas con igual edad, el índice de natalidad de un país durante un mes, entre otras tomadas de diferentes áreas de estudio. Sin embargo, hacer el estudio de ellas, se limita al empleo de un algoritmo para determinar el valor de la variación.
Representaciones
La fórmula que se utiliza para solucionar esta clase de situación, depende de la forma en que se presenten los datos.
Si en la situación se presentan los datos en forma no agrupada se utiliza la expresión algebraica: s=√((∑▒(x-x ̅ )^2 )/(n-1)), donde:
s: representa la desviación estándar.
x : representa los valores que toma la variable.
x ̅: representa la media aritmética de los valores de la muestra.
n: representa el tamaño de la muestra.
Si en la situación se presentan los datos en forma agrupada se utiliza la expresión: s=√((∑▒〖f(x-x ̅ )〗^2 )/(n-1)), donde representa la frecuencia de los valores.
Invariantes
La desviación estándar es un valor numérico que se determina con la fórmula.
La desviación estándar es una medida de variación no negativa y su unidad de medida es igual a la de los valores.
Al calcular el valor de la desviación estándar se tienen en cuenta todos los valores de la variable.
La desviación estándar mide la confiabilidad de la media aritmética, dado que está influenciada por los valores extremos, unos pocos datos atípicos incrementan su valor.
La desviación estándar de un conjunto de datos de una muestra es la medida de cuanto se separa la media de los datos y se determina de
la siguiente manera:
Se halla la media aritmética de la distribución y la desviación media de cada valor, después, se calculan los cuadrados de las desviaciones medias, en seguida, se divide la suma de los cuadrados de las desviaciones medias entre el número de datos y para finalizar se halla la raíz cuadrada del resultado anterior, para volver a las unidades originales; al número resultante se le llama desviación estándar.
Situación 1
En promedio, hay 600 muertes debido a accidentes de tráfico cada año en Bogotá. La policía de tránsito registró (ver Tabla 2) los datos correspondientes a los meses de febrero y marzo, con base en ellos conteste: ¿Cuál es la desviación estándar del conjunto de datos?
Tabla 2. Registro de mortalidad en accidentes de tránsito
FEBRERO NÚMERO DE MUERTES
Semana 1 3
Semana 2 12
Semana 3 21
Semana 4 14
MARZO
Semana 5 2
Solución: Como los datos no están agrupados se utiliza la fórmula s=√((x-x ̅ )^2/(n-1)). En la cual se tiene en cuenta que n = 5, las frecuencias son: 3, 12, 21, 14 y 2, y la media que se obtiene es x ̅=10,4, luego:

El valor de la desviación estándar es de 3,9.
Aunque con la información presentada en la situación y la desviación estándar se puede realizar un análisis estadístico que permita predecir y tomar decisiones, el planteamiento de la situación limita su solución a determinar un valor numérico.
Situaciones de relación entre distribuciones
En estas situaciones se presentan dos o más distribuciones dentro de un contexto, en las cuales se compara el valor de la desviación estándar para determinar cuándo una es mayor, menor o igual a otra y a partir de esta relación determinar el comportamiento de la variable implicada en la situación. Sin embargo estas situaciones pueden estar planteadas de tal forma que sólo se realice una comparación numérica de los valores de las desviaciones estándar, sin tener en cuenta su significado dentro del contexto.
Representaciones
Las situaciones se pueden representar con: tablas de frecuencia, gráficas de distribución o como un conjunto de datos de una muestra. En forma general:
Tabla de frecuencia Gráfica de la distribución Conjunto de datos
Datos Frecuencia







Figura 8. Representaciones de una distribución
Para facilitar la comparación de las distribuciones es recomendable utilizar las representaciones de tabla de frecuencias y gráfica de la distribución, porque permiten visualizar la relación entre los elementos de la distribución y determinar su variabilidad.
Invariantes
Al comparar la desviación estándar de dos distribuciones se tiene en cuenta la densidad de los valores alrededor de la media. Se presentan dos casos, el primero cuando el valor de las desviaciones estándar es diferente y el segundo cuando la desviación es igual.
Cuando el valor de las desviaciones estándar de dos distribuciones es diferente, se puede determinar la relación de orden existente entre ellas, teniendo en cuenta las siguientes condiciones:
La desviación estándar es mayor si la densidad alrededor de la media es menor, esto se debe a que la menor cantidad de los datos están cercanos a la media y el promedio de sus desviaciones es más pequeño en relación con el promedio de las desviaciones de la mayoría de los datos que están alejados de la media. Una desviación estándar de valor grande indica una variabilidad mayor de los datos de una distribución, es decir, que la mayoría de los datos se encuentran alejados de la media o unos de otros.
La desviación estándar es menor si la densidad de los valores es mayor alrededor de la media y menor a los extremos, esto se debe a que la mayor cantidad de datos están cercanos a la media y el promedio de sus desviaciones es menor en comparación con el promedio de las desviaciones de los pocos datos que se encuentran alejados de la media. Si la desviación estándar es pequeña indica menor variabilidad de los valores alrededor de la media, es decir que la mayoría de los datos se encuentran cercanos a la media aritmética.
En el segundo caso, se presenta que la desviación estándar es igual si los valores y las frecuencias varían de la siguiente forma: Cada valor aumenta o disminuye en la misma cantidad y las frecuencias se invierten en orden o se mantienen iguales.
Si una distribución se obtiene al modificar cada valor de una distribución inicial sumándole una constante m, sin cambiar sus frecuencias, entonces, se puede concluir que se realizó una translación de m unidades a la distribución inicial. En una distribución en la que se observa que se modifican los valores a partir de una translación, la media cambia, pero se ubica en la misma posición dentro de la distribución (parte izquierda de la barra verde, ver Figura 11), las desviaciones medias no se modifican porque las distancias de los valores a la media son constantes, por tanto la desviación estándar es igual. Ahora se verifica en forma algebraica esta propiedad de la desviación estándar:
Sea S_(x_i ) la desviación estándar de una distribución:
s_(x_i )=√(∑_(i=1)^n▒((x_i-x ̅ )^2.f)/n)
Si se traslada cada valor m lugares, es decir que:〖 x〗_i se traslada,
x_i+m=y_i entonces, x ̅ se traslada x ̅¬+m=y ̅ .
La desviación estándar para y_i es:
〖S_y〗_i=√(∑_(i=1)^n▒((x_i+m-(x ̅+m) )^2.f)/n=√(∑_(i=1)^n▒((x_i+m-x ̅-m)^2.f)/n)=√(∑_(i=1)^n▒((x_i-x ̅ )^2.f)/n)) =S_(x_i )
Luego la desviación estándar es igual en las dos distribuciones.
Si una distribución se obtiene al modificar cada valor de una distribución inicial sumándole una constante m y distribuyendo las frecuencias en orden inverso sobre los datos, entonces se puede afirmar que se realizó una reflexión de la distribución con respecto a un valor de los datos. En una distribución en la que se observa que se modifican los valores y sus frecuencias a partir de una reflexión, la media cambia y las desviaciones medias se modifican en orden invertido al igual que las frecuencias, luego la desviación estándar es igual. Ahora se verifica en forma algebraica esta propiedad de la desviación estándar:
Dada una distribución cuya desviación estándar es: S_(x_i )=√(∑_(i=1)^n▒((x_i-x ̅ )^2.f)/n)
Si se reflejan los valores x_i en -x_i donde -x_i=x_i+m, la desviación estándar se mantiene constante, porque:
.
Luego la desviación estándar es igual en las dos distribuciones.
Como se establecen dos invariantes para éste tipo de situaciones se presentará una serie de ejemplos, donde se evidencie cada uno de ellos.

Situación 2
En un colegio se comparan los resultados de una prueba de ortografía aplicada a los grupos de once, para conocer qué grupo es mejor en ortografía. En los gráficos se muestran los resultados de las calificaciones de cada grupo.


Figura 9. Resultados prueba de ortografía
Observa los resultados de cada grupo y decide: ¿Los grupos tienen resultados iguales o a qué grupo le fue mejor? Justifica tu respuesta.
Solución: Como el valor de la media en las dos muestras es igual, para determinar a cuál de los grupos le fue mejor se analiza la variación de los datos con respecto a la media. Con base en la información presentada en los histogramas, se observa que la densidad de los valores de las calificaciones es mayor alrededor de la media en el grupo 1101, contrario al grupo 1102, donde la densidad de los valores alrededor de la media aritmética es menor, con base en el tamaño de la densidad alrededor de la media se concluye que la desviación estándar es mayor en el grupo 1102. La misma conclusión se obtiene si se observa la densidad a los extremos de la distribución, en donde en el grupo 1101 la densidad es menor que en el grupo 1102, ya que el valor de la desviación estándar es menor cuando menor es la densidad a los extremos. El grupo 1101 obtuvo mejores calificaciones porque la medida de la desviación estándar indica menor variabilidad en las calificaciones de los estudiantes, lo que implica que en general más estudiantes obtuvieron calificaciones cercanas a 7,1 que es el promedio de los dos grupos.
Situación 3
En un colegio de Bogotá se desea hacer un estudio acerca del estado de nutrición de los estudiantes de grado preescolar y los estudiantes de grado sexto, para determinar a cuáles de ellos se les debe proporcionar en su alimentación una dosis adicional de vitaminas, las cuales fueron entregadas gratuitamente por el hospital de la localidad a la cual pertenece el colegio. Para realizar dicho estudio se midieron los pesos de una muestra representativa de cada grado, los resultados obtenidos fueron:

Preescolar (edades 4-5-6 años)
Peso (Kg) Nº de Estudiantes Eestudiantes
16 - 17,9 8
18 - 19,9 10
20 - 21,9 9
22 - 23,9 1
24 - 26 2






Grado sexto (edades 10-11-12 años )


Peso (Kg) Nº de estudiantes
26 – 27,9 8
28 – 29,9 10
30 –31,9 9
32 – 33,9 1
34 – 36 2


Figura 10. Información sobre el peso de estudiantes
¿A cuál grado finalmente se le proporciona las vitaminas adicionales con su refrigerio? Como criterio de decisión se escoge al grupo con mayor índice de una mala nutrición, es decir, en el cual hayan más estudiantes con bajo peso o sobrepeso. Justifique su respuesta.
Solución: La desviación estándar en las dos muestras es igual aunque los pesos de los estudiantes de los respectivos grados son diferentes, porque al observar la información se encuentra que la cantidad de datos (Peso en Kg) recogidos en cada muestra es igual y el número de estudiantes se distribuye sobre los datos en el mismo orden y cantidad. Como la desviación estándar es igual se puede inferir que el estado de nutrición de los estudiantes en los dos grados es similar, por lo que el colegio debe adicionar dosis de vitaminas con los refrigerios a los estudiantes de los dos grados.
Situación 4
Una empresa que cultiva flores para exportación desea sembrar una nueva semilla que debe plantarse en terrenos cuya temperatura ambiente no sea muy variable. Para establecer el lugar adecuado realizan un estudio en dos lugares diferentes, midiendo la temperatura promedio de cada hora del día durante una semana, los datos registrados se presentan en la figura 11.
MUESTRA A

Temperatura (ºC) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Promedio de nº de horas en el día durante una semana 2.5 0.5 1.5 3.5 2 1 1.5 0.5 4 0.5 0 2.5 0 0.5 2 1.5



MUESTRA B

Temperatura (ºC) 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Promedio de nº de horas en el día durante una semana 1.5 2 0.5 0 2.5 0 0.5 4 0.5 1.5 1 2 3.5 1.5 0.5 2.5


Figura 11. Variación de temperaturas de dos lugares
A partir de ellos, determine ¿cuál de los dos lugares es más indicado para cultivar esta nueva especie de flor? Justifique su respuesta.
Solución: En la información se observa que cada dato de las temperaturas registrado en la muestra B se incrementa en 10ºC con respecto a cada dato de la muestra A y el promedio de número de horas en el día se distribuye en la muestra B en orden inverso al de la muestra A.
Como la desviación estándar es igual para las dos muestras se puede inferir que la variación de la temperatura en los dos lugares es la misma, luego cualquiera de estos sitios es adecuado para cultivar la nueva especie de flor.
Situaciones de predicción utilizadas para la toma de decisiones
En estas situaciones se presentan una o más distribuciones en las cuales se tiene en cuenta el valor de la desviación estándar para predecir el comportamiento de la variable. Con base en este análisis se toman decisiones para lograr resultados acertados en un contexto particular. En la mayoría de situaciones de esta clase la variable se mide con respecto al tiempo, por ejemplo, los estudios de meteorología para predecir el clima, la valorización de una moneda para predecir su estabilidad, la valorización de una acción de una empresa para determinar si es favorable invertir, entre otras.
Representaciones
Gráfica de líneas Gráfica de barras



Figura 12. Clases de representación del comportamiento
de una variable con respecto al tiempo
Se utilizan las tablas de datos y con mayor frecuencia las gráficas de líneas o de barras, ya que éstas permiten visualizar con facilidad las variaciones de los datos como se observa en la figura 12.
Invariantes
La desviación estándar mide la variación del comportamiento de la variable con respecto al tiempo. Si la desviación estándar es pequeña es posible predecir el comportamiento de la variable ya que éste es más estable, por el contrario si la desviación estándar es grande es incierto realizar una predicción.
Si el valor de la desviación estándar de una variable medida con respecto al tiempo es pequeño, se puede predecir que el comportamiento de la variable tiende a ser constante.
Un valor grande de la desviación estándar de una variable medida con respecto al tiempo indica que la variable presenta un comportamiento inestable, por lo tanto las predicciones realizadas en esta situación no son confiables ó no se puede predecir un comportamiento a futuro.
Al comparar el comportamiento de una variable en dos distribuciones A y B, si el promedio de la distancia de los valores alrededor de la media en A es menor que el promedio de la distancia de los valores a la media en B, entonces se puede afirmar que la desviación estándar es menor en A. Por lo tanto el comportamiento de la variable en la distribución A, tiende a ser más estable que en B.
Las decisiones que se tomen en esta clase de situaciones dependen del contexto de la situación, ya que en algunos casos es conveniente el comportamiento de la distribución A y en otros los de B, por ejemplo: si se va a estudiar la edad de los árboles en dos bosques nacionales, para determinar a cuál de ellos se le debe realizar un proceso de restauración es conveniente decidirse por el bosque nacional cuyo comportamiento se asemeje al de la distribución B ó en el caso en que se quiere determinar la confiabilidad de dos líneas de producción de neumáticos nuevos donde se ha medido el diámetro de los neumáticos producidos en diferentes fábricas, es preferible que se escoja la línea cuyo comportamiento se asemeje a la distribución A porque así se asegura la calidad de la línea de neumáticos.
Situación 5
Una empresa exportadora de café, tiene una reserva de sacos de café arábica suave, de acuerdo al comportamiento del precio del café en los últimos 6 meses.
Mes Valor
(centavos de dólar americano por libra)
Nov 2008 120,44
Dic 2008 116,97
Ene 2009 128,03
Feb 2009 128,51
Mar 2009 127,76
Abr 2009 134,58


Figura 13. Comportamiento del café durante seis meses
¿Cuántos centavos de dólar ha variado durante este tiempo?
¿Es conveniente negociar su reserva para exportarla en el mes de mayo?
Solución: En la gráfica de líneas se puede observar que aunque las variaciones de los valores del precio del café en los meses de noviembre y diciembre son mayores que en los meses de enero, febrero y marzo, en general los valores están cercanos a la media, luego las desviaciones medias son pequeñas y en consecuencia la desviación estándar también lo es, por tanto el precio del café se mantiene más o menos estable y se puede determinar que es conveniente negociar la reserva de sacos.
Situación 6
Un grupo de personas desean invertir el dinero de sus cesantías en acciones que se cotizan en la Bolsa de Valores de Colombia para mejorar su rentabilidad, pero además que su inversión sea segura. (Alta rentabilidad). En los siguientes datos se presenta la valorización del precio de una acción de Ecopetrol y de Isagen durante los meses de abril y mayo de 2009. Observando el comportamiento del precio de las acciones.
¿Cuál de las dos empresas es más confiable para invertir?
Tabla 3. Precio de una acción en dos empresas
FECHAS ECOPETROL (Pesos)

PRECIO EN PESOS ISAGEN (Pesos)
24 de abril 2130.00 1925.00
27 2125.00 1915.00
28 2125.00 1995.00
29 2145.00 2055.00
30 2120.00 2025.00
4 de mayo 2150.00 2045.00
5 2135.00 2040.00
6 2165.00 2040.00
7 2210.00 2035.00
8 2330.00 2125.00
11 2275.00 2130.00
12 2305.00 2125.00
13 2285.00 2120.00
14 2290.00 2145.00
15 2275.00 2125.00
18 2285.00 2150.00
19 2355.00 2170.00


ECOPETROL ISAGEN

Figura 14. Variación del precio de las acciones de Ecopetrol e Isagen
Solución: Al observar las gráficas de barras se puede concluir que la densidad alrededor de la media es mayor en la gráfica de Isagen que en la de Ecopetrol, luego la desviación estándar es más pequeña en el precio de la acción de Isagen que en el precio de la acción de Ecopetrol. Aunque el valor de la media es mayor en las acciones de Ecopetrol que en las de Isagen, el precio de una acción de Isagen es más estable que en Ecopetrol. Como el grupo que desea invertir busca que su inversión sea segura, lo mejor es comprar acciones de Isagen cuyo comportamiento es más estable.
Situaciones con condiciones establecidas
En esta clase de situaciones se construye una distribución a partir de condiciones iniciales. Estas situaciones no se tendrán en cuenta en este análisis conceptual, porque su grado de dificultad es alto para los estudiantes con los que se realiza el estudio de las concepciones de la desviación estándar, sin embargo pueden ser útiles para un estudio similar con estudiantes de nivel universitario.
Para concluir, se presenta la relación existente entre las diferentes situaciones analizadas a través de las cuales se realiza el estudio de la desviación estándar, las representaciones y los procesos implicados en la solución. A partir de esta relación surgen los invariantes que son los conceptos, propiedades y relaciones que pueden ser reconocidos y utilizados por los estudiantes para analizar y resolver las situaciones.
En la figura 15, se observa la relación jerárquica existente entre las situaciones que dan sentido al concepto de la desviación estándar. A medida que los estudiantes se enfrenten a estas situaciones, empezará a tener significado para ellos el concepto de desviación estándar y así, continuar con su proceso de conceptualización.
En principio los estudiantes hacen uso de los procesos algorítmicos para determinar el valor de la desviación estándar y dar solución a la situación, sin analizar la respuesta dentro del contexto de la situación. Es de resaltar, que en las situaciones algorítmicas es suficiente calcular el valor numérico de la desviación estándar.


Figura 15. Situaciones que dan sentido al concepto de desviación estándar

Ahora bien, si se presentan situaciones de relación entre distribuciones donde se deba tomar una decisión, se hace necesario además identificar la relación de orden entre las desviaciones estándar y con base al contexto decidir en forma acertada. Sin embargo, las situaciones de comparación se pueden resolver a través de estimaciones, observando el comportamiento de los datos en una gráfica de distribución. Cuando los estudiantes dominen estas situaciones y reconozcan el significado de la desviación estándar en una distribución, y lo que representa dentro del contexto de la situación, estarán preparados para realizar predicciones en situaciones más complejas que requieran de esta etapa de conceptualización.
Por lo tanto, el proceso de conceptualización como lo afirma Vergnaud(1990), se da a partir de la operacionalidad del concepto la cual se experimenta por medio de diversas situaciones, del uso de significantes explícitos (representaciones) y significados ( invariantes).
Y por último, las situaciones con mayor grado de dificultad son aquellas en las que se plantean condiciones iniciales de la desviación estándar para generar los datos de una distribución. Las situaciones con condiciones iniciales requieren para su solución estimaciones, predicciones y cálculos algebraicos complejos como lo indica Estepa (2006). Esta clase de situaciones se dejan para estudiantes de nivel universitario, por ello en los textos escolares no se presentan.

Caracterización de las concepciones

En las investigaciones analizadas sobre concepciones se encuentra que no hay una única definición para el término concepción, algunos investigadores han utilizado términos como: conocimientos previos o concepciones previas, concepciones iniciales o anteriores, misconceptions, representación, imagen conceptual y creencias entre otras Margolinas (1993 c.p. en Ruiz, 1993) “[…] No obstante, la palabra más extendida en la literatura didáctica, en todas las `escuelas` es la de concepción, que interviene desde que el discurso se sitúa a nivel de aprendizaje” (p.46).
El constructo concepción ha sido empleado en el sentido epistemológico y en el sentido cognitivo. En el primer sentido se estudia las concepciones de los objetos matemáticos teniendo como referente la evolución histórica del concepto, al igual que la presentación de los conceptos en los programas curriculares oficiales y en los libros de texto escolares. El sentido cognitivo hace referencia a las concepciones del sujeto sobre un objeto matemático, su estudio requiere el análisis de las respuestas de los sujetos con respecto a situaciones de evaluación diseñadas por los investigadores.
Como el interés de esta investigación es analizar las concepciones del objeto matemático ‘desviación estándar’ en los estudiantes de educación secundaria, el análisis de las concepciones se desarrollara desde el sentido cognitivo. Desde este punto de vista las concepciones han sido caracterizadas por diferentes investigadores tales como: Confrey (1990), Artigue (1984), Margolinas (1993), Ponte (1994), Vergnaud (1990), Godino y Batanero (1993a,1993b), entre otros.
Confrey (1990, c.p. en Ruiz, 1993), señala que las concepciones son el conjunto de creencias, teorías, explicaciones y significados que los estudiantes le atribuyen a un concepto matemático. Además indica que cuando estas concepciones entran en conflicto con los significados de los conceptos desde la matemática, utiliza el término “misconceptions” para referirse a las concepciones erradas o incorrectas que el estudiante tiene sobre un objeto matemático. Confrey asegura que las concepciones no pueden ser ignoradas en la enseñanza porque según él, los estudiantes inician el aprendizaje de un concepto con ideas previas, rechaza la hipótesis de la “tabula rasa ”.
Artigue (1984, c.p. en Ruiz, 1993), concibe las concepciones como el estado cognitivo global del sujeto, en referencia a un objeto matemático. Ella indica que estas concepciones son inobservables, pero a partir de las respuestas de los estudiantes obtenidos a través de una situación de evaluación, es posible conocer aspectos parciales de las concepciones globales las cuales denomina concepciones locales.
En términos generales, Artigue afirma que las concepciones se utilizan en didáctica de las matemáticas para relacionar el objeto matemático con los significados, las representaciones y estrategias que el estudiante utiliza para solucionar diferentes situaciones asociadas al mismo, y para proporcionar al docente elementos didácticos que le permitan diferenciar entre “el saber que la enseñanza quiere transmitir y los conocimientos efectivamente construidos por el alumno” Artigue (1990 c.p. en Godino y Batanero, 1994). Esto se debe a que con las concepciones es posible conocer los conocimientos construidos por los estudiantes y compararlos con los conocimientos propuestos para la enseñanza.
Margolinas (1993, c.p. en Ruiz, 1993) define la concepción como un modelo de comportamiento cognitivo del sujeto, construido por el investigador, en el cual se describen: las explicaciones, los procedimientos y las definiciones entre otros elementos, que los estudiantes exteriorizan al solucionar una determinada situación y que se pueden ser observadas y analizadas por el investigador.
Ponte (1994b, c.p. en Flores, 1998) define “las concepciones como marcos organizativos implícitos de conceptos que condicionan la forma de abordar las tareas” (p.32), para este investigador las concepciones son la base que permite organizar los conceptos que el estudiante va construyendo, pero no hacen referencia a conceptos específicos sino a la forma como el estudiante ve el mundo y organiza el pensamiento.
De lo anteriormente expuesto se puede concluir que aunque no hay una única definición del término concepción, existen elementos en común de los que se pueden resumir: las concepciones son un estado cognitivo global inobservable, las que se observan en los estudiantes se consideran locales, estas describen las estrategias, procedimientos y representaciones que utilizan los estudiantes para resolver una situación y pueden ser analizadas a partir de las respuestas dadas a situaciones de evaluación adecuadas, propuestas por el investigador. Todos los autores mencionados asumen la existencia de las concepciones en los estudiantes e indican que se deben tener en cuenta durante el proceso de enseñanza y aprendizaje de un concepto. De igual forma se reconoce que las concepciones evolucionan transformándose en una nueva concepción.
Este punto de vista coincide con la idea que Vergnaud tiene sobre concepciones. Como ya se mencionó, para este investigador las concepciones son un estado cognitivo global del sujeto que permite determinar el estado de los conocimientos de un estudiante en relación a un concepto que es definido con la terna (S, I, R), descrita durante el proceso de conceptualización. De manera análoga, “una concepción estaría formada por esa misma terna pero considerándola en un momento dado de la evolución del concepto” Vergnaud (1982b, c.p. en Ruiz, 1993)
El significado más preciso de los elementos se describe enseguida. ‘S’ está formado por el conjunto de situaciones problema que el estudiante relaciona con el concepto, para las cuales es apropiado utilizarlos como herramienta para resolver la situación, por esto se dice que las situaciones son las que le dan sentido al concepto. ‘I’ es el conjunto de invariantes que le permiten al estudiante operacionalizar el concepto. Los invariantes son reconocidos y usados para solucionar la situación. La organización de todos los invariantes asociados a un concepto es llamado por Vergnaud “esquema”, luego, es en los esquemas donde se deben investigar los conocimientos que el estudiante pone en juego al enfrentarse a una situación, es decir, los elementos cognitivos que hacen que las acciones del estudiante sean operatorias. ‘R’ son todas las representaciones simbólicas que el estudiante utiliza para indicar y representar los invariantes, a través de ellas se hacen explícitos los procedimientos implicados en el desarrollo de la situación.
Las concepciones previas de los estudiantes contienen teoremas-en-acción y conceptos-en-acción que según Vergnaud (1993) son los conocimientos contenidos en los esquemas que pueden designarse como “invariantes operatorios”. Los teoremas-en-acción y conceptos-en-acción no son teoremas ni conceptos formales, pero pueden llegar a ser. Los teoremas-en-acción son proposiciones consideradas como verdaderas y los conceptos-en-acción son: objetos, atributos, relaciones, condiciones y circunstancias entre otros, considerados como pertinentes para abordar una situación. Por ejemplo, la situación sobre media aritmética (ver Figura 1) planteada a estudiantes de grado sexto (11 años en promedio):
Figura 1. Situación sobre media aritmética.
En su razonamiento para resolver la situación los estudiantes (ver Figura 2), utilizan la definición de media aritmética , aunque los estudiantes no la enuncian formalmente, esto es lo que Vergnaud reconoce como un teorema-en-acción que está implícito en la mente del estudiante, evidentemente este teorema funciona por la forma en que se presenta la situación, pero no se aplicaría de manera tan breve si se buscara el promedio de calificación del curso, ya que el número de datos haría complejo el manejo de las operaciones. Además están implicados varios conceptos como: número, desigualdad ya que el estudiante reconoce que , adición y división, los cuales se reconocen como conceptos-en-acción.

Estudiante A

Estudiante B

Figura 2. Resultados de situación de media aritmética
Algunos investigadores consideran que las concepciones de los estudiantes pueden ser erradas o ingenuas con respecto al concepto formal, contrario a esto, Vergnaud reconoce que cada una de las concepciones de los estudiantes juega un papel importante en la construcción del conocimiento. La evolución de las concepciones dinamizan el desarrollo cognitivo, durante este proceso algunas concepciones se modifican en concepciones más elaboradas y otras se rechazan puesto que en algunos casos son un impedimento para la conceptualización.
Desde esta perspectiva se hace necesario que los docentes conozcan e identifiquen las concepciones sobre las cuales los estudiantes se pueden apoyar para lograr el aprendizaje de un concepto con el objetivo de proponer situaciones problema adecuadas para una conceptualización. Sin embargo el docente debe conocer también las concepciones que les impiden a los estudiantes el desarrollo conceptual para proponer nuevas situaciones problemáticas que permitan a los estudiantes conscientemente rechazarlas.
Relación entre el significado de los objetos matemáticos y las concepciones
En la caracterización de las concepciones se expone el constructo para diferentes investigadores, los cuales reconocen la multiplicidad de las concepciones de los estudiantes sobre un mismo objeto matemático, sin embargo no se interesan por la forma en que se han de evaluar dichas concepciones, exceptuando a Vergnaud. A este respecto, Godino y Batanero (1994) indican que la relación existente entre las concepciones de los estudiantes sobre un objeto matemático, el conjunto de situaciones que dan sentido al concepto y las prácticas que se evidencian en los estudiantes durante la resolución de la situación problema, es lo que permite inferir las concepciones de los estudiantes a partir del uso de dichas prácticas o de sus respuestas.
Por lo anterior, un investigador que se interese por el estudio de las concepciones de los estudiantes con respecto a un objeto matemático debe plantear situaciones de evaluación a través de las cuales pueda visualizar las prácticas que los estudiantes utilizan al solucionar las situaciones. Las prácticas emergentes se relacionan con los tres componentes que caracterizan las concepciones de Vergnaud, de acuerdo a Godino y Batanero (1993a, 1993b, c.p. en Ruiz, 1993) estas son:
• prácticas en las que el sujeto explicite las características o invariantes que reconoce como notas esenciales que determinan el objeto;
• prácticas en las que el sujeto precise emplear el conjunto de representaciones simbólicas que asocia al concepto;
• prácticas que permitan inferir el conjunto de situaciones, problemas, etc. que el sujeto asocia al objeto es decir para las cuales encuentra apropiado su uso como herramienta. (p.75)
Estas prácticas pueden ser significativas o no; son significativas si el estudiante las considera útiles y necesarias para solucionar la situación problema y son prácticas no significativas aquellas que los estudiantes abandonan porque los llevan a respuestas erróneas. El conjunto de prácticas significativas constituyen el sistema de prácticas.
Además, las prácticas asociadas a un conjunto de problemas relacionado con un objeto matemático pueden ser de tipo personal e institucional, las prácticas personales son producto de las acciones realizadas por los estudiantes y las prácticas institucionales son aquellas que resultan de la socialización, validación y generalización a otras situaciones problema de las respuestas obtenidas por los estudiantes que participan en la solución de una situación.
La interacción entre los miembros de una institución (la clase de matemáticas) al solucionar una situación problema conlleva a la realización de prácticas sociales compartidas. A partir de estas prácticas surgen en forma progresiva los objetos institucionales. “El sistema de prácticas sociales asociados al objeto institucional se define como significado” Godino (1993a 1993b, c.p. en Ruíz 1993, p.71). De igual manera del sistema de prácticas personales relacionadas con la solución de una situación problema emergen de forma gradual los objetos personales que constituyen para el estudiante el significado de dichos objetos, dichos significados según Godino y Batanero son las concepciones de los estudiantes con respecto a un objeto matemático.
Relación de las concepciones con el aprendizaje significativo
Hoy en día la investigación en educación matemática se centra en el proceso de aprendizaje de los estudiantes y su principal interés es comprender cómo el estudiante construye su conocimiento. En la búsqueda de respuestas al respecto se ha encontrado que las concepciones son un factor importante en la construcción del conocimiento, porque a partir de ellas se produce la conceptualización, es decir, que las concepciones se van transformado en forma progresiva para llegar al dominio de un campo conceptual por parte de los estudiantes, esta evolución es un proceso difícil y requiere de tiempo. En consecuencia, los docentes deben tener en cuenta las concepciones para generar situaciones problema adecuadas que propicien en los estudiantes un aprendizaje significativo.
Todo aprendizaje produce una modificación en las estructuras cognitivas de los estudiantes o en sus esquemas y se consigue a través de la realización de operaciones cognitivas. Un aprendizaje significativo debe cumplir dos condiciones fundamentales:
• Actitud potencialmente significativa de aprendizaje por parte del estudiante, o sea, predisposición para aprender de manera significativa.
• Presentación de un material potencialmente significativo. Esto requiere:
o Por una parte, que el material tenga significado lógico, esto es que sea potencialmente relacionable con la estructura cognitiva del que aprende de manera no arbitraria y sustantiva;
o Y, por otra parte, que existan ideas de anclaje o concepciones adecuadas en el sujeto que permitan la interacción con el material nuevo que se presentan. (Ausubel,1976,p.86)
Lo anterior propone que para lograr un aprendizaje significativo es importante que el estudiante tenga una actitud favorable hacia el aprendizaje, es decir, que tenga interés por aprender, para lo cual es necesario que el docente presente a los estudiantes un material significativo que motive a los estudiantes, es pertinente explicar que este material hace referencia a las situaciones asociadas al concepto y no a recursos didácticos. Las situaciones de aprendizaje que se proponen a los estudiantes deben poder relacionarse con las concepciones previas de los estudiantes y en la medida que esta relación sea más estrecha los aprendizajes obtenidos serán más significativos para el estudiante. Ausubel (2002) afirma que para que se dé un aprendizaje significativo se deben dar estas tres condiciones de manera simultánea, para que se cumplan estas tres condiciones es necesaria la interacción entre la triada profesor, estudiante y materiales cada uno de ellos con un rol diferente.
Según Ausubel (2002), la teoría de aprendizaje significativo es el proceso mediante el cual el estudiante relaciona sus concepciones con el nuevo conocimiento de manera no arbitraria o literal, sino de forma substancial. Como se ha mencionado antes no todas las concepciones permiten a los estudiantes construir conocimiento, sino que el estudiante para desarrollar las situaciones planteadas por el docente, selecciona y utiliza los elementos cognitivos adecuados para su solución y durante este proceso se modifican las concepciones porque éstas adquieren nuevos significados.
Ausubel en su teoría del aprendizaje significativo al igual que Vergnaud en su teoría de campos conceptuales, consideran que, para lograr un aprendizaje significativo en los estudiantes se requiere de tiempo ya que éste es un proceso progresivo que se desarrolla en forma lenta.
Aunque la teoría de campos conceptuales de Vergnaud no es una teoría de aprendizaje sino psicológica, aporta elementos como: el concepto de esquema que es un complemento del propuesto por Piaget, la definición de concepto como un tripleta (S,I,R), el papel esencial que juegan las situaciones en el proceso de conceptualización, entre otros aspectos de igual importancia, que proporcionan un referente teórico para “comprender, explicar e investigar el proceso de aprendizaje significativo” Vergnaud (1990, c.p. en Moreira,2002).

MARCO TEÓRICO

Dado que el objetivo de esta investigación es estudiar las concepciones de desviación estándar de los estudiantes, en este capítulo se presentan los fundamentos teóricos que sustentaran el estudio. Para iniciar esta presentación se realiza una breve descripción del concepto de didáctica a partir del cual se determina el objeto de estudio y la finalidad de la didáctica de la estadística como campo en el cual se desarrolla este trabajo, se sigue con una descripción de dos perspectivas de investigación que han desarrollado trabajos relacionados con la estadística: la psicológica y la didáctica, dentro de la cual se tomará como referencia la didáctica fundamental de la escuela francesa. A continuación se realiza la caracterización de las concepciones, con base en las que se desarrolla el análisis conceptual de la desviación estándar y de los resultados de los instrumentos de investigación.
La didáctica de la estadística dentro de la didáctica
Hay diversas definiciones de didáctica explicitadas en la literatura disponible. Para Freudenthal (1991), la didáctica de una materia es: “la organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje relevantes para esa materia” (p. 148). Para Brousseau (1989), la didáctica es la ciencia que se interesa por la producción y comunicación del conocimiento, saber qué es lo que se está produciendo en una situación de enseñanza es el objetivo de la didáctica (p. 3). Escudero (1980, c.p. en Mallart, J., 2000), define la didáctica como "Ciencia que tiene por objeto la organización y orientación de situaciones de enseñanza-aprendizaje de carácter instructivo, tendientes a la formación del individuo en estrecha dependencia de su educación integral`` (p.5).
Teniendo en cuenta las diferentes definiciones propuestas por los investigadores mencionados, se puede concluir que la didáctica es una disciplina científica que se interesa por estudiar los procesos de enseñanza y
aprendizaje en el aula, con el propósito de proporcionar herramientas teóricas que permitan optimizar dichos procesos. En particular, la didáctica de la estadística investiga los procesos de enseñanza y aprendizaje de los conceptos estadísticos.
Para desarrollar el estudio didáctico de los conceptos estadísticos es necesario conocer los fundamentos que delinean el conocimiento estadístico. Existen varias definiciones de estadística, la propuesta por Moore (1995) es:
La estadística es la ciencia de los datos. Con más precisión, el objeto de la estadística es el razonamiento a partir de los datos empíricos. La estadística es una disciplina científica autónoma, que tiene sus métodos específicos de razonamiento. Aunque es una ciencia matemática, no es un subcampo de la Matemática. Aunque es una disciplina metodológica, no es una colección de métodos (p.15)
A partir de la definición anterior, se puede decir que la estadística forma parte de las matemáticas pero es autónoma, ya que difiere en sus métodos de razonamiento. En matemáticas los estudiantes pueden manipular objetos físicos y realizar en forma concreta operaciones básicas, al igual que a partir del resultado pueden reconstruir una operación propuesta; esto quiere decir que, en matemáticas las operaciones son reversibles: por ejemplo, en la suma los estudiantes hacen agrupaciones de objetos y al regresarse hacen la distribución de los mismos. En cambio, en estadística los algoritmos utilizados para calcular las medidas de dispersión de datos de fenómenos estadísticos no permiten realizar experiencias con material concreto, ni revertir la operación para obtener datos específicos (Batanero, 2001 p. 56), por ejemplo: de los datos recolectados de las estaturas de los estudiantes de un curso, se puede calcular la desviación estándar, su resultado me indica la variación de las estaturas en el grupo, pero a partir del valor de la desviación estándar no es posible reconstruir los datos de inicio.
Sin embargo, las matemáticas y la estadística aunque tienen una estructura axiomática a partir de la cual se definen los conceptos, se diferencian en la interpretación y aplicación de ellos. Según Batanero (2001), “Los problemas filosóficos que la axiomatización no ha resuelto se refieren a las posibilidades de aplicación de los conceptos estadísticos y la interpretación de los mismos en diferentes circunstancias” (p. 9), en estadística a diferencia de la matemática se pueden generar varias interpretaciones de un concepto las cuales dependen del contexto, es decir, la naturaleza de la estadística es no determinista.
Ahora bien, la perspectiva psicológica y la perspectiva de la didáctica de las matemáticas realizan estudios sobre la didáctica de la estadística, estas utilizan sus teorías y métodos con dicho propósito. La línea psicológica se ha interesado en lo estocástico, a raíz de la influencia que han tenido los trabajos realizados en estadística en las investigaciones referentes al razonamiento humano. Entre los trabajos que han modificado los paradigmas de los estudios psicológicos están los realizados por Kahneman y cols (1982), sobre razonamiento correlacional, inferencia, probabilidad condicional, entre otros. En este mismo sentido, la didáctica de las matemáticas tiene interés en la didáctica de la estadística, Batanero (2001), como consecuencia del “rápido desarrollo de la estadística como ciencia y como útil en la investigación, la técnica y la vida profesional” (p. 6), adicional a esto, los docentes de matemáticas son los que desarrollan las clases de estadística. A continuación se delinean las características de las perspectivas psicológica y didáctica.
Perspectiva psicológica
En la perspectiva psicológica, se busca identificar teorías de aprendizaje para sustentar la enseñanza en la didáctica de las matemáticas, lo fundamental es analizar el razonamiento humano en diversas situaciones de incertidumbre propias de la estadística y de otras áreas, en las que se requiere hacer predicciones para tomar decisiones acertadas bajo las condiciones de la situación. La mayoría de investigadores en esta línea son constructivistas, consideran que las concepciones y competencias son construidas en forma activa por los estudiantes, los conceptos no existen en un mundo ideal sino que se organizan en la mente de los estudiantes a partir de sus experiencias con el entorno.
Según Vergnaud (1988, c.p. en Godino, 2003) bajo este enfoque es apropiado estudiar en la educación matemática “el análisis de la conducta de los estudiantes, de sus representaciones y de los fenómenos inconscientes que tiene lugar en sus mentes” (p.12), Desde esta línea de investigación se analizan la organización jerárquica de las concepciones de los estudiantes y su evolución durante los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Al interior de la perspectiva psicológica se han realizado trabajos de investigación en estadística sobre el razonamiento estocástico, en particular se destacan los trabajos de Fischbein, en los que su interés es estudiar las concepciones sobre los conceptos estocásticos, el efecto de la enseñanza en ellos y la formación de los conceptos formales.
Las concepciones para Fischbein (1987, c.p. en Meletiou, 2000) “juegan un papel esencial en la adquisición del nuevo conocimiento, ellas son la llave a la comprensión y aceptación de una teoría” (p.36). Él cree que al conocer las concepciones del estudiante es posible determinar su estado cognitivo respecto de un concepto, con la finalidad de organizar los procesos de enseñanza y aprendizaje en ambientes propicios que permitan desarrollar las concepciones, de tal forma que orienten el pensamiento y sus acciones.
La construcción de un concepto formal, no es fácil ni inmediata, es un proceso continuo denominado por D´Amore como conceptualización. Para Vergnaud (1990):
La conceptualización es el núcleo del desarrollo cognitivo, es la apropiación consciente del concepto que define como la terna (S, I, R), donde:
 S: Conjunto de situaciones que dan sentido al concepto.
 I: Conjunto de invariantes sobre los cuales reposa la operacionalidad del concepto.
 R: Conjunto de las formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar simbólicamente el concepto, sus propiedades, las situaciones y los procedimientos de tratamiento (p.7)
Las situaciones son una combinación de tareas, para su solución los estudiantes requieren el uso de conceptos, procedimientos y representaciones de diferentes tipos relacionadas entre sí. Las situaciones pueden ser de dos clases: en las primeras los estudiantes utilizan estrategias conocidas, por tanto resuelven la situación de forma casi inmediata, en las situaciones de la segunda clase los estudiantes no disponen de todas las competencias necesarias para solucionar la situación, luego requiere del análisis, exploración y reflexión de posibles estrategias que lo conduzcan a una respuesta coherente.
Los invariantes son conceptos, propiedades y relaciones que pueden ser reconocidos y usados por los estudiantes para analizar y solucionar las situaciones. El conjunto de las formas lingüísticas y no lingüísticas, son las representaciones simbólicas como el lenguaje natural, gráficos y diagramas, las expresiones algorítmicas, entre otras.
La conceptualización se da en el proceso de aprendizaje si los estudiantes utilizan los tres elementos del concepto en forma simultánea, sin reducir el concepto a sus invariantes, ni a sus representaciones, ni a las situaciones. Pero es a partir de la solución de las primeras situaciones sobre un concepto que los estudiantes construyen sus concepciones iniciales las cuales se modifican progresivamente con la inclusión de nuevas situaciones y con el tiempo van evolucionando a la construcción formal del concepto.
Perspectiva didáctica
En los últimos años la Didáctica de las Matemáticas se ha interesado por la enseñanza de la estadística dado su creciente desarrollo como disciplina científica, y por su importancia a nivel social e investigativo ya que proporciona herramientas necesarias para tomar decisiones en diferentes campos profesionales. A raíz de esto los estadísticos vieron la necesidad de implementar el estudio de la estadística a nivel escolar y se inició la investigación en el campo educativo para encontrar estrategias de enseñanza aprendizaje que promuevan la comprensión de los conceptos básicos de estadística y el desarrollo del pensamiento estadístico.
Dentro de esta línea de investigación se destaca el grupo de la escuela francesa a la cual pertenecen Brousseau, Chevallard, D`Amore, Artigue, Douady y Vergnaud entre otros. El trabajo de estos investigadores se ha caracterizado por establecer una concepción de didáctica que difiere de otros enfoques, es conocida como Didáctica Fundamental, cuyo propósito es formular nuevas teorías de enseñanza y aprendizaje teniendo como objeto de estudio: el conjunto de relaciones entre, el saber, los estudiantes y el profesor, en el contexto de la clase.
Brousseau (1983 c.p. Douady, 1993) como precursor de esta línea propone su teoría de situaciones didácticas como respuesta a la necesidad de tener un modelo propio de la actividad matemática en didáctica. Este autor define las situaciones didácticas como:
Un conjunto de relaciones establecidas explicita e implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (comprendiendo eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (el docente) con el fin de que los alumnos se apropien un saber constituido o en vía de constituirse (p.250)
Para que los estudiantes construyan un conocimiento es necesario que se interesen por resolver la situación problema planteada. Durante el proceso de resolución de la situación el estudiante utiliza sus conocimientos anteriores para proponer diferentes estrategias, las cuales modifica de acuerdo a las características de la situación, con el fin de obtener una respuesta coherente con lo formulado. En la transformación de las estrategias el estudiante construye el nuevo conocimiento.
Brousseau (1981, c.p. en Douady,1993) reconoce que las “concepciones de los estudiantes son el resultado de un intercambio permanente con las situaciones problemas a las cuales ellos se ven enfrentados, en el curso de las cuales los conocimientos anteriores son movilizados para ser modificados, completados o abandonados”. De esta manera, la teoría de las situaciones es una teoría de aprendizaje constructivista en la que el aprendizaje se produce como resultado del cambio de las concepciones iniciales.
Así como Brousseau, Vergnaud considera que los conceptos matemáticos se hacen significativos para los estudiantes a partir de la solución de un conjunto de situaciones, que para resolverlas se requieren varios conceptos puesto que no es posible solucionarla con un solo concepto, además de necesitar procedimientos y representaciones que se relacionan entre sí. A este conjunto de situaciones que cumplen con las características anteriores Vergnaud lo llama campo conceptual.

Revisión de la literatura

A nivel de educación secundaria es fundamental que los estudiantes construyan el concepto de desviación estándar en contextos de datos y gráficos. Para el desarrollo de esta investigación es importante conocer los trabajos de investigación que han hecho un aporte al estudio de la variación, que se utilizaran como referente para realizar el análisis conceptual de la desviación estándar como una medida de variación. También se tienen en cuenta algunas investigaciones sobre concepciones para obtener información teórica sobre ellas, establecer un modelo de análisis de los textos escolares así como un marco metodológico. A continuación se describen de manera breve algunas de estas referencias.
Elementary preservice teachers’ conceptions of variation. Daniel Lee Canada (2004)
Esta investigación estudia y analiza las concepciones de la variación en estadística de los futuros profesores de preservicio elemental (EPSTs). La investigación plantea tres objetivos: i) Desarrollar como marco de referencia una categorización de los conceptos de variación que tienen los EPSTs. ii) Comparar las concepciones de los EPSTs de variación antes y después de una intervención de instrucción que enfoca la variación. iii) Investigar los tipos de tareas que podrían ser útiles para observar las concepciones de los EPSTs de la variación.
El estudio se realiza con un grupo de 30 estudiantes en un curso de matemáticas. La metodología es cualitativa por que la recolección de la información se fundamenta en la revisión de los testimonios y datos de las entrevistas y las observaciones de clase. Se incluye tres intervenciones de aula para promover una exploración de variación. Todos los estudiantes desarrollan tareas antes y después de las intervenciones, y seis de los estudiantes participaron en las entrevistas.
Para las intervenciones se diseñaron o modificaron algunas tareas particulares, clasificadas en tres clases: tareas en las que se pedía a los estudiantes evaluar los resultados supuestos de experimentos y decidir si los resultados eran veraces o no; tareas en las cuales se les proporcionaban conjeturas específicas y los estudiantes exponían sus argumentos y tareas en las que se les presentaba a los estudiantes un conjunto de datos en tipos diferentes de gráficos, en los que debían realizar comparaciones.
Es de señalar, que algunas de las situaciones propuestas en los instrumentos de esta investigación, han sido adaptadas para determinar las concepciones de desviación estándar en los estudiantes, porque según los resultados obtenidos fue posible analizar las concepciones de variación.
Developing students’ conceptions of variation: an untapped well in statistical reasoning. María Menelaou Meletiou, (2000)
El objeto de estudio de la investigación es el pensamiento intuitivo de variabilidad y el uso de herramientas estadísticas para construir nuevos conceptos en los estudiantes. El estudio se realizo con 35 estudiantes de un curso de introducción a la estadística a nivel universitario, donde el modelo de enseñanza aprendizaje delegaba la responsabilidad a los estudiantes, para promover así la construcción de conocimientos significativos.
El enfoque de ésta investigación se centra en el constructivismo radical y social con el que se propone una metodología de estudio de investigación de diseño por conjetura de (Confrey y Lachance, 1999); en esta metodología se distinguen dos dimensiones, una de contenido matemático (lo que debe enseñarse) y otra pedagógica (cómo debe enseñarse éste contenido). Este tipo de investigaciones tiene como objetivo producir teoría que ayude a guiar la práctica educativa en el aula, por ésta razón el investigador puede ser el docente.
La investigación se inicia con una prueba escrita para explorar los conocimientos previos estadísticos del grupo de estudiantes; teniendo en cuenta los resultados se diseñan las tareas utilizando un software. A continuación se categorizan las concepciones de los estudiantes y se diseñan tareas para una segunda intervención, en la cual se analizan las modificaciones de las concepciones. Los instrumentos para recolectar la información son: pruebas escritas, entrevistas por grupo e individuales y video de las clases.
Las tareas diseñadas para las intervenciones, son de dos clases: las primeras de ellas son situaciones planteadas en contextos reales y las segundas presentan diferentes gráficos estadísticos como: Histogramas, diagramas de barras y de cajas, a partir de los cuales se interpreta el significado de las variables representadas y sus relaciones.
Entre los resultados de la investigación podemos destacar que: al exponer a los estudiantes a situaciones reales, donde se puedan extraer los conceptos estadísticos se desarrolla el pensamiento estocástico.
Significado institucional de referencia de las medidas de dispersión. Estepa, A y Ortega. J, (2006)
Este trabajo de investigación busca caracterizar el significado institucional de las medidas de dispersión en secundaria. Esta caracterización consiste en delimitar y fijar lo que se entiende por medidas de dispersión dentro de la estadística descriptiva. El objetivo general propuesto para dirigir el estudio es: caracterizar el significado institucional de las medidas de dispersión presentado en los textos más representativos de los utilizados en los cursos introductorios que imparten en los primeros niveles universitarios de diplomaturas y licenciaturas.
La muestra escogida para el estudio son catorce libros de los cursos de introducción a la estadística a nivel universitario de los cuales se presenta un análisis onto-semiótico de las medidas de dispersión: rango, recorrido intercuartílico, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.
Para determinar el significado se analizan los siguientes elementos de significado: situaciones, las acciones de los sujetos ante las tareas matemáticas, lenguaje, conceptos, propiedades y argumentos.
En las conclusiones se encuentra que: aunque tradicionalmente, en el sistema de enseñanza, las medidas de dispersión se han considerado un tema sin dificultades para su aprendizaje, del análisis hecho en la investigación se destaca su complejidad, en cuanto al número y variedad de elementos que concurren en el tema. Además, entre las diferentes clases de definiciones que se encuentran se destacan las que se manifiestan mediante una fórmula, lo cual dificulta la comprensión en toda su dimensión, ya que se deja al lector la interpretación de dichas fórmulas.
Exploring students’ conceptions of the standard deviation. Robert Delmas & Yan Lui (2005)
El propósito de esta investigación es promover en los estudiantes la habilidad para relacionar las características de variación de los valores alrededor de la media, con el tamaño de la desviación estándar como medida de dicha variación, a través de, la introducción de un entorno tecnológico interactivo. El estudio se realizó con 20 estudiantes de un curso de introducción a la estadística, los cuales participaron en tres fases: introducción, exploración y de prueba. En la primera, los estudiantes interactúan con el computador y se familiarizan con los controles y la información presentada en el programa; en la segunda desarrollan tareas en las que deben reorganizar las barras de frecuencia en un histograma, para obtener una desviación estándar mayor o menor y en la última comparan el tamaño de la desviación estándar en distribuciones.
Los resultados obtenidos del análisis de las respuestas de los estudiantes evidencian diferentes concepciones y estrategias que ellos usan para construir los procedimientos y hacer comparaciones. Las concepciones se identifican, se describen e interpretan teniendo como marco de referencia el análisis conceptual de la desviación estándar que presenta en su investigación.
Las concepciones identificadas en los estudiantes en la fase de exploración son:
Valores alejados: bajo esta concepción los estudiantes consideran que un arreglo en las barras de frecuencias puede producir una posible desviación estándar mayor si los valores (o las barras) se sitúan alejadas una de la otra respecto a un referente inicial en el que estaban menos alejadas, pero no se menciona en sus argumentos, la relación de estas distancias respecto a la media;
Igual dispersión entre las barras: Los estudiantes creen que la desviación estándar es mayor cuando las barras se dispersan a lo largo del rango de la recta numérica con igual espacio entre las barras.
Alejamiento de la media: esta concepción describe que una desviación estándar mayor se obtiene ubicando los valores (las barras) alejados de la media tanto como sea posible.
Media en el medio de la distribución y equilibrio: Los estudiantes consideran que una desviación estándar mayor se da si las barras de mayor frecuencia se encuentran en los extremos fe la distribución y se encuentra a la misma distancia por encima y por debajo de la media.
Media alta: conciben el tamaño de la desviación estándar en términos del tamaño de la media, si ésta es mayor la desviación estándar es mayor y el caso contrario. Mayor cantidad de barras en el medio: Algunos estudiantes consideran que el tamaño de las barras cercana a la media o en el centro de la distribución determinan el tamaño de la desviación estándar. Las concepciones descritas por Delmas se tendrán en cuenta para ser comparadas con las que se encuentren en esta investigación.
Concepciones sobre el concepto de función. Ruiz Higuera Luisa (1996)
El objetivo de esta investigación es caracterizar las concepciones de estudiantes de secundaria de la noción de función, teniendo como referente las componentes que describen las concepciones de Vergnaud: situaciones, representaciones e invariantes y su posible relación con el desarrollo histórico del concepto y con el currículo de enseñanza. La metodología es cualitativa e interpretativa. El interés por esta investigación radica en: las unidades de análisis utilizadas para revisar los textos escolares y las técnicas para describir las concepciones de los estudiantes.

Objetivos

Para dar respuesta a la pregunta de investigación, se propone como objetivo general determinar y caracterizar las concepciones que exteriorizan los estudiantes de educación media sobre el concepto de desviación estándar, en situaciones de análisis estadístico.
Para dar cuenta de este objetivo general se proponen los siguientes objetivos específicos:
• Proponer un marco conceptual para abordar el estudio de las concepciones acerca de la desviación estándar.
• Identificar los lineamientos curriculares que guían las recomendaciones de enseñanza aprendizaje sobre la desviación estándar.
• Determinar las concepciones de desviación estándar que inducen algunos textos escolares consultados por los estudiantes.
• Plantear un cuestionario de preguntas con situaciones acorde al marco conceptual para ser aplicado a los estudiantes y una entrevista semiestructurada que permita a los estudiantes manifestar sus concepciones sobre desviación estándar.
• Interpretar y categorizar las concepciones manifestadas por los estudiantes de educación media sobre la desviación estándar.

JUSTIFICACIÓN Y DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

En los últimos años las investigaciones en didáctica se han interesado por estudiar el aprendizaje de los estudiantes, algunas de ellas (Batanero, Godino y Navas, 1997; Canada, 2004; Delmas y Yan Liu ,2005; Flores,1998; Meletiou, 2000),centran su atención en las concepciones de los estudiantes. Dicho interés radica en los resultados obtenidos en las investigaciones de concepciones, donde según Confrey (1990, c.p. en Ruíz, 1993) se concluye que:
Antes de comenzar la enseñanza formal sobre un núcleo conceptual, los estudiantes tienen sistemas de creencias firmemente asumidos de los fenómenos científicos o conceptos lógicos matemáticos; estos sistemas de creencias difieren en aspectos fundamentales de los sistemas conceptuales propuestos en los currículos; estas concepciones son resistentes al cambio por medio de la instrucción tradicional (p.49)
Estos resultados indican que existen concepciones en los estudiantes que no pueden desconocerse, por el contrario, el docente debe tenerlas en cuenta como una herramienta básica que le permite entender como sus estudiantes conciben un concepto y en consecuencia planear su enseñanza en busca de un aprendizaje significativo.
Para algunos investigadores como Vergnaud (1990, c.p. en Moreira, 2002) el estudio de las concepciones es importante dentro de la didáctica de las matemáticas ya que las considera como “precursoras de conceptos científicos a ser adquiridos” (p.16), es decir, que estas son el referente conceptual para la construcción de un concepto. Según este investigador las concepciones previas son un factor fundamental para la conceptualización.
Desde este punto de vista es necesario que el docente identifique y conozca las concepciones de los estudiantes que son la base para el dominio de un campo conceptual, ya que así podrá determinar cuáles de estas concepciones servirán de apoyo para planificar y orientar los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Ausubel, Novak y Hanesian (1980) al igual que Vergnaud, reconocen la importancia de las concepciones en su teoría de aprendizaje significativo, en donde las concepciones llamadas conocimiento previo, afectan la adquisición de nuevos conocimientos. Una característica del aprendizaje significativo es la interacción entre el nuevo conocimiento y el conocimiento previo, a partir de la cual se produce transformación en las concepciones, las cuales se dan como concepciones mejoradas o como la construcción de nuevos significados.
Así mismo, Fischbein (1987, c.p. en Meletiou, 2000) plantea que “las concepciones juegan un papel importante en la adquisición del nuevo conocimiento, son la clave para la comprensión de la teoría”. Según este autor, conocer las concepciones previas de los estudiantes proporciona un referente importante en la construcción de nuevas concepciones y permite determinar el estado de acercamiento al concepto científico.
Los estándares básicos de competencias en matemáticas (MEN, 2003) coinciden con los argumentos de los estudios mencionados, pues reconocen que las concepciones previas son la base del proceso de aprendizaje de un nuevo concepto para los estudiantes, además, aseguran que aunque éstas pueden ser erróneas son la única herramienta con la que cuenta el docente para iniciar dicho aprendizaje.
En suma, los argumentos anteriores justifican la relevancia y pertinencia de realizar estudios de concepciones de los estudiantes acerca de los objetos matemáticos. En esta investigación el objeto de estudio que interesa abordar es la desviación estándar. Conocer las concepciones de los estudiantes de este objeto es importante dentro de la didáctica de la estadística, por diferentes razones:
Delmas y Yan Liu, (2004) en su investigación “exploring students’ conceptions of the standard deviation”8sobre, asegura que la comprensión de la variación estadística y de las medidas de dispersión son necesarias para que conceptualmente se pueda entender conceptos más complejos y, una comprensión incompleta en especial de la desviación estándar puede limitar a los estudiantes en su comprensión de temas avanzados, tales como: las distribuciones de muestreo, inferencia, y p-valores.
Estepa y Ortega (2006), en su investigación “Significado institucional de referencia de las medidas de dispersión” realizan un estudio de textos de estadística en donde analizan el significado institucional de las medidas de dispersión, entre ellas la desviación estándar. Ellos concluyen que:
Aunque tradicionalmente en el sistema de enseñanza, las medidas de dispersión se han considerado un tema sin dificultades para enseñarlo y aprenderlo, del análisis efectuado, podemos destacar, su enorme complejidad, en cuanto al número y variedad de elementos que concurren en este tema”. (p.198).
Por ejemplo, la desviación estándar es un concepto que subyace de la relación de varios conceptos estadísticos como: distribución, media aritmética y desviación media, cada uno de estos conceptos involucran otros conceptos básicos (frecuencia, valor) y la interrelación de todos estos hace que la conceptualización de la desviación estándar sea compleja.
Además, Estepa y Ortega, reconocen que gran parte de las definiciones de los conceptos estadísticos se introducen enfatizando en la presentación de las fórmulas o expresiones matemáticas asociadas a los mismos que hace que su comprensión suela desembocar en interpretaciones difíciles de manejar para los estudiantes.
Shaughnessy (2004, c.p. en DelMas, 2005) reafirma lo anterior cuando asegura que la mayor parte de la enseñanza sobre la desviación estándar tiende a hacer hincapié en una fórmula matemática. Este énfasis en los cálculos y procedimientos no promueve una comprensión conceptual de la desviación estándar.
Entre otras razones se encuentra que hay pocas investigaciones enfocadas en el estudio de las concepciones de la desviación estándar, a este respecto Shaughnessey (1999,cp. en Meletiou 2000) argumenta que: “hay un excesivo énfasis en la enseñanza, evaluación e investigación de las concepciones de los estudiantes de medidas de tendencia central, en detrimento o ausencia del desarrollo de las concepciones de dispersión o variabilidad” (p. 11)
Dada la importancia de la desviación estándar como una de las medidas de dispersión en la estadística, es pertinente que los estudiantes en su formación escolar la aprendan de manera significativa, como lo requieren los lineamientos curriculares de Colombia MEN (1998). En ellos se establece que con el avance de la tecnología no es fundamental para los estudiantes aprender las fórmulas y procedimientos matemáticos para calcular la desviación estándar, sino buscar la conceptualización para que éste concepto sea útil en la predicción y toma de decisiones en situaciones reales.
En los estándares básicos de competencias MEN (2002) el concepto de desviación estándar se introduce en la educación media en los grados décimos y once con el siguiente estándar del pensamiento aleatorio y sistemas de datos: “usar comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles, cuartiles, centralidad, distancia, rango, varianza, covarianza y normalidadg)” (p.89)
En el colegio San Francisco I La Casona, donde se desarrolla el estudio se puede evidenciar por el plan de mejoramiento propuesto al finalizar el año 2008 (ver Tabla 1), las dificultades presentadas en el área de matemáticas, en particular en el pensamiento aleatorio y sistemas de datos.
Se observa que el uso de la desviación estándar para la interpretación y análisis de información estadística es una dificultad que presentan los estudiantes en esta institución y se pretende dar solución a través de la implementación de situaciones reales o problemas de su entorno.
Tabla 1. Plan de Mejoramiento (Datos tomados del Plan de área de Matemáticas del Colegio San Francisco I la casona (2009)
EJE CONCEPTUAL PROBLEMA ACTIVIDADES INDICADORES DE GESTIÓN
PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS
• Interpretación y análisis de graficas para deducir conclusiones de una colección de datos.

• El uso de medidas de tendencia central (media, moda, y mediana) y de dispersión (desviación estándar y varianza) para analizar y comprender los datos recogidos • Aplicación de encuestas de interés para la comunidad educativa.
• Implementar el análisis de situaciones reales o problemas de su entorno para promover el análisis exploratorio de datos y de graficas como herramientas conceptuales para el estudio de la estadística descriptiva y los sistemas aleatorios.
• Reforzar a través de pruebas escritas, el análisis diferencial de situaciones graficas, para que el estudiante proponga hipótesis, deduzca conclusiones y plantee soluciones.
• Presentar un proyecto anual con el estudio estadístico de una situación real utilizando herramientas tecnológicas como EXCEL
• Realizar presentaciones en POWER POINT para exponer los estudios estadísticos de los estudiantes
Sin embargo, desde nuestra perspectiva, a la luz de todo lo expuesto anteriormente y lo que se sustenta en el marco teórico, es necesario que los docentes conozcan las concepciones de desviación estándar de los estudiantes, para tomarlas como base en la formulación de nuevas estrategias y el planteamiento de situaciones que den sentido al concepto en el proceso de conceptualización.
Teniendo en cuenta este referente, se enuncia la pregunta que guía nuestra investigación:

¿Cuáles son las concepciones de desviación estándar en el contexto de análisis de datos de los estudiantes de educación media?

CONCEPCIONES DE DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA

PRESENTACIÓN
La necesidad y utilidad de promover el desarrollo del conocimiento estadístico es un hecho casi incuestionable en la educación escolar y universitaria. Holmes (1980), señala que algunas razones para incluir la enseñanza y aprendizaje de la estadística en estos niveles son: su utilidad en la vida diaria, su aplicación como herramientas técnicas en otras disciplinas, la necesidad de un conocimiento estocástico básico en muchas profesiones y su papel en el desarrollo de un razonamiento crítico. En Colombia la inclusión de la estadística se ha dado poco a poco en los currículos escolares, pero se manifiesta con mayor relevancia a partir de 1998, en estos, se propone que su enseñanza y aprendizaje se realice en contextos significativos, que permitan a los estudiantes construir los conceptos estadísticos a partir situaciones con problemas abiertos, para posibilitar el desarrollo del pensamiento estadístico.
El pensamiento estadístico se desarrolla teniendo como referente el reconocimiento de la variación. Según Snee (1990) “[...] la variación está a todo nuestro alrededor y presente en todo lo que hacemos, todo trabajo es una serie de procesos interconectados y el identificar, caracterizar, cuantificar, controlar y reducir la variación proporcionan oportunidades de mejoramiento del pensamiento estadístico.” (p. 118). Los procesos para el estudio de la variación involucra el estudio de varias medidas, una de ellas, la desviación estándar, la medida de la variación es una componente importante en el análisis de los datos.
En la investigación que presentamos se pretende explorar e identificar las concepciones de la desviación estándar de los estudiantes, para categorizarlas. A partir de este análisis hacer un aporte a las investigaciones de variación. El estudio de las concepciones ha sido uno de los ejes de investigaciones en Educación Estadística en los últimos años (Batanero, Godino y Navas 1997, Meletiou, 2000, Canada, 2004, Reading and Reid, 2006, Delmas, 2005). En todas estas investigaciones el factor común son las implicaciones para la enseñanza y el aprendizaje de un concepto, ya que la información que proporcionan puede convertirse en una herramienta útil para diseñar situaciones de aprendizaje, porque:
En primer lugar, las concepciones de los estudiantes se establecen como punto de partida para el proceso de enseñanza y aprendizaje en la conceptualización de un objeto matemático (Vergnaud, 1982b c.p. Higueras 1993), y además “son organizadoras de nuestro conocimiento” (Ponte, 1992, c.p. Flores 1998). En segundo lugar, conocer las concepciones posibilita a los profesores diseñar acciones para organizar y optimizar el proceso de enseñanza y aprendizaje. (Perterson y Cols 1987 c.p. Flores 1998, Delmas 2005).
La investigación se organiza en seis capítulos: en el primero, se plantea el problema de estudio y su justificación para desarrollarlo, en seguida, se presenta una revisión de los trabajos de investigación sobre: concepciones, estudio de la variación y la desviación estándar, relacionadas con esta investigación. En el segundo se expone los referentes teóricos sobres los cuales se fundamenta el desarrollo de la investigación. En el tercer capítulo, se propone un análisis conceptual de la desviación estándar, en el que se explica los elementos, conceptos y relaciones, básicos para su construcción y las clases de situaciones que le dan sentido. En el siguiente capítulo, se expone un análisis curricular y de los textos escolares que utilizan los estudiantes para examinar su influencia en las concepciones de la desviación estándar de los estudiantes. En el quinto, se presenta una descripción de la metodología de la investigación y de los procesos de recolección y análisis de la información. En el capítulo final presenta el análisis de los resultados, se describen las concepciones encontradas en los estudiantes y su relación con los resultados en otras investigaciones, este capítulo resume las conclusiones de la investigación.

PRESENTACIÓN

La necesidad y utilidad de promover el desarrollo del conocimiento estadístico es un hecho casi incuestionable en la educación escolar y universitaria. Holmes (1980), señala que algunas razones para incluir la enseñanza y aprendizaje de la estadística en estos niveles son: su utilidad en la vida diaria, su aplicación como herramientas técnicas en otras disciplinas, la necesidad de un conocimiento estocástico básico en muchas profesiones y su papel en el desarrollo de un razonamiento crítico. En Colombia la inclusión de la estadística se ha dado poco a poco en los currículos escolares, pero se manifiesta con mayor relevancia a partir de 1998, en estos, se propone que su enseñanza y aprendizaje se realice en contextos significativos, que permitan a los estudiantes construir los conceptos estadísticos a partir situaciones con problemas abiertos, para posibilitar el desarrollo del pensamiento estadístico.

El pensamiento estadístico se desarrolla teniendo como referente el reconocimiento de la variación. Según Snee (1990) “[...] la variación está a todo nuestro alrededor y presente en todo lo que hacemos, todo trabajo es una serie de procesos interconectados y el identificar, caracterizar, cuantificar, controlar y reducir la variación proporcionan oportunidades de mejoramiento del pensamiento estadístico.” (p. 118). Los procesos para el estudio de la variación involucra el estudio de varias medidas, una de ellas, la desviación estándar, la medida de la variación es una componente importante en el análisis de los datos.

En la investigación que presentamos se pretende explorar e identificar las concepciones de la desviación estándar de los estudiantes, para categorizarlas. A partir de este análisis hacer un aporte a las investigaciones de variación. El estudio de las concepciones ha sido uno de los ejes de investigaciones en Educación Estadística en los últimos años (Batanero, Godino y Navas 1997, Meletiou, 2000, Canada, 2004, Reading and Reid, 2006, Delmas, 2005). En todas estas investigaciones el factor común son las implicaciones para la enseñanza y el aprendizaje de un concepto, ya que la información que proporcionan puede convertirse en una herramienta útil para diseñar situaciones de aprendizaje, porque:

En primer lugar, las concepciones de los estudiantes se establecen como punto de partida para el proceso de enseñanza y aprendizaje en la conceptualización de un objeto matemático (Vergnaud, 1982b c.p. Higueras 1993), y además “son organizadoras de nuestro conocimiento” (Ponte, 1992, c.p. Flores 1998). En segundo lugar, conocer las concepciones posibilita a los profesores diseñar acciones para organizar y optimizar el proceso de enseñanza y aprendizaje. (Perterson y Cols 1987 c.p. Flores 1998, Delmas 2005).

La investigación se organiza en seis capítulos: en el primero, se plantea el problema de estudio y su justificación para desarrollarlo, en seguida, se presenta una revisión de los trabajos de investigación sobre: concepciones, estudio de la variación y la desviación estándar, relacionadas con esta investigación. En el segundo se expone los referentes teóricos sobres los cuales se fundamenta el desarrollo de la investigación. En el tercer capítulo, se propone un análisis conceptual de la desviación estándar, en el que se explica los elementos, conceptos y relaciones, básicos para su construcción y las clases de situaciones que le dan sentido. En el siguiente capítulo, se expone un análisis curricular y de los textos escolares que utilizan los estudiantes para examinar su influencia en las concepciones de la desviación estándar de los estudiantes. En el quinto, se presenta una descripción de la metodología de la investigación y de los procesos de recolección y análisis de la información. En el capítulo final presenta el análisis de los resultados, se describen las concepciones encontradas en los estudiantes y su relación con los resultados en otras investigaciones, este capítulo resume las conclusiones de la investigación.